Clasificación de Petrov

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La clasificación de Petrov (a veces la clasificación de Petrov-Pirani , rara vez la clasificación de Petrov-Pirani-Penrose ) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weil para cada evento en una variedad pseudo-riemanniana .

Esta clasificación se usa más activamente en el estudio de las soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein , aunque en términos generales es un resultado matemático abstracto que no depende de ninguna interpretación física. La clasificación fue propuesta por primera vez en 1954 por A. Z. Petrov y en 1957 de forma independiente por Felix Pirani .

El teorema de clasificación

Un tensor de rango 4 con antisimetría en el primer y segundo par de índices, por ejemplo , el tensor de Weil , en cada punto de la variedad se puede representar como un operador lineal : actuando en el espacio vectorial de bivectores : $C$ $T_{{p}}\times T_{{p}}\rightarrow T_{{p}}\times T_{{p}}$

X^{{ab}}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

En este caso, es natural plantear el problema de encontrar valores propios y vectores propios (o bivectores propios ) tales que $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

En variedades pseudo-Riemannianas de cuatro dimensiones en cada punto, el espacio de bivectores es de seis dimensiones. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl limitan la dimensión del espacio de autobivectores a cuatro. Así, el tensor de Weil en un punto dado puede tener como máximo cuatro autobivectores linealmente independientes .

Al igual que en la teoría habitual de vectores propios de un operador lineal , los bivectores propios del tensor de Weyl pueden ser múltiples. La multiplicidad de autobivectores indica alguna simetría algebraica adicional del tensor de Weyl en un punto dado; esto significa que el tipo de simetría del tensor de Weyl se puede determinar resolviendo una ecuación de cuarto orden para sus valores propios.

Los bivectores propios del tensor de Weyl están asociados con ciertos vectores isotrópicos en la variedad, que se denominan direcciones isotrópicas principales (en un punto dado). El teorema de clasificación establece que hay exactamente seis tipos posibles de simetría algebraica, que se conocen como tipos de Petrov :

Tipo I : cuatro direcciones isotrópicas principales,
Tipo II : una dirección isotrópica principal doble y dos simples,
Tipo D : dos direcciones isotrópicas dobles,
Tipo III : una referencia triple y una única,
Tipo N : una dirección isotrópica con una multiplicidad de 4,
Tipo O : El tensor de Weyl es cero.

Se dice que el tensor de Weyl de tipo I (en un punto) es algebraicamente general ; Los tensores de otros tipos se llaman algebraicamente especiales . Diferentes puntos del espacio-tiempo pueden tener diferentes tipos de Petrov. Las posibles transiciones entre los tipos de Petrov se muestran en la figura, lo que también puede interpretarse en el sentido de que algunos tipos de Petrov son más especiales que otros. Por ejemplo, el tipo I , el tipo más común, puede degenerar en los tipos II o D , mientras que el tipo II puede degenerar en los tipos III , N o D.

Criterios de Bel

Para una variedad pseudo-Riemanniana (Lorentziana) , el tensor de Weyl se puede calcular a partir del tensor métrico . Si en algún punto el tensor de Weil es algebraicamente especial , entonces existe un conjunto eficiente de reglas (descubiertas por Louis Bel) para determinar el tipo de Petrov en el punto . Denote los componentes del tensor de Weyl en un punto por (y suponga que no son cero, es decir, no es de tipo O ), entonces el criterio de Behl se puede expresar de la siguiente manera: $METRO$ $p\en M$ $pags$ $pags$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ es de tipo N si y solo si existe un único (hasta un factor) vector isotrópico que satisface $k(pag)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Si no pertenece al tipo N , entonces pertenece al tipo III si y solo si existe un único vector isotrópico (hasta un factor) que satisface $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(pag)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ es de tipo II si y solo si existe un único (hasta un factor) vector isotrópico que satisface $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

y ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alfa \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ es de tipo D si y solo si hay dos vectores isotrópicos linealmente independientes , , que satisfacen las condiciones: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alfa \beta \neq 0

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

donde es el tensor dual al tensor de Weil en el punto . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $pags$

Los criterios de Bel se utilizan en la relatividad general, es decir, el tipo de Petrov para el tensor de Weyl algebraicamente especial se encuentra utilizando vectores cero.

Interpretación física

De acuerdo con la relatividad general , los tipos algebraicamente especiales de Petrov tienen una interpretación física interesante, por lo que su clasificación a menudo se denomina clasificación de campos gravitatorios .

Las regiones de campo tipo D están asociadas con los campos gravitatorios de cuerpos celestes masivos aislados, como las estrellas. Más precisamente, los campos de tipo D surgen alrededor de objetos estacionarios que solo tienen masa y momento angular como características físicas. (Un cuerpo dinámico más complejo tiene momentos multipolares distintos de cero ). Las dos direcciones isotrópicas principales definen dos familias isotrópicas "radialmente" convergentes y divergentes cerca del cuerpo gravitante.

El tensor electrogravitacional (o tensor de marea ) en las regiones de tipo D es análogo a los campos gravitatorios, que son descritos por la gravedad newtoniana con un potencial gravitatorio de tipo Coulomb . Tal campo de marea se caracteriza por la extensión en una dirección y la compresión en direcciones ortogonales; Los autovalores tienen un patrón característico (-2,1,1). Por ejemplo, un satélite en órbita alrededor de la Tierra experimenta una ligera expansión radial y una ligera compresión ortogonal. Como en la gravedad newtoniana, el campo de marea disminuye a medida que, donde es la distancia desde el cuerpo gravitante. $O(r^{{-3}})$ $r$

Si el cuerpo gira alrededor de algún eje, además de los efectos de las mareas, aparecerán varios efectos gravitomagnéticos , como la interacción espín-espín que actúa sobre los giroscopios del observador . En el vacío de Kerr , que es un ejemplo típico de un campo de vacío de tipo D , esta parte del campo decae como . $O(r^{{-4}})$

Las regiones de tipo III están asociadas con la parte longitudinal del campo gravitatorio variable en el tiempo (a veces llamado radiación gravitatoria longitudinal). En estas áreas, las fuerzas de marea tienen el carácter de cambios. Este es un tipo de campo bastante poco estudiado, en parte porque la radiación gravitacional que surge en la aproximación de campo débil es de tipo N , ya que el campo de tipo III decrece a medida que , es decir mucho más rápido que la radiación de tipo N , y por lo tanto no dejar la fuente. $O(r^{{-2}})$

Las regiones de tipo N están asociadas con la radiación gravitacional transversal , que los astrónomos detectaron en 2015 . La dirección isotrópica cuádruple corresponde al vector de onda que describe la dirección de propagación de la radiación. La amplitud de la radiación suele disminuir a medida que , por lo que el campo gravitatorio de una fuente lejana siempre es radiativo y tiene tipo N . $O(r^{{-1}})$

El tipo II combina los efectos de los campos tipo D , III y N de una manera no lineal bastante compleja.

Las regiones de tipo O , o regiones conformemente euclidianas , son zonas en las que el tensor de Weil es idénticamente igual a cero. En este caso, el tensor de curvatura es Ricci puro . En las regiones conformemente euclidianas, los efectos gravitatorios surgen solo debido a la presencia instantánea de materia o energía de algún campo no gravitatorio (por ejemplo, un campo electromagnético ). En cierto sentido, esto significa que los objetos remotos no afectan los eventos en esta área; más precisamente, si hay alguna dinámica gravitacional en regiones remotas, las noticias al respecto aún no han llegado a la zona euclidiana conforme en consideración.

El campo gravitacional, y por extensión la radiación gravitatoria , emitida por un sistema aislado, en general, no será algebraicamente especial a una distancia finita de la fuente. El teorema de división describe cómo los diferentes tipos de campo se "separan" a medida que el observador se aleja de la fuente de radiación, hasta que solo queda radiación de tipo N a largas distancias . Existe un teorema similar en el electromagnetismo.

Ejemplos

Para algunas soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein, el tensor de Weyl tiene el mismo tipo en cada punto del mundo :

la métrica de Kerr en el vacío es de tipo D ,
Espacio de Robinson-Trautman - tipo III ,
Las ondas pp son de tipo N ,
la métrica de Friedman-Robertson-Walker es tipo O en todas partes .

En general, un espacio-tiempo arbitrario esféricamente simétrico debe ser algebraicamente especial, y cualquier espacio-tiempo estático debe ser del tipo D.

Literatura

De la sección de relatividad Archivado el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine en World of Mathematical Equations -- EqWorld Archivado el 3 de octubre de 2008 en Wayback Machine :