Tensor de Ricci

El tensor de Ricci , llamado así por Ricci-Curbastro , especifica una de las formas de medir la curvatura de una variedad , es decir, el grado en que la geometría de una variedad difiere de la geometría de un espacio euclidiano plano . El tensor de Ricci, al igual que el tensor métrico , es una forma bilineal simétrica en el espacio tangente de una variedad de Riemann . En términos generales, el tensor de Ricci mide la deformación del volumen , es decir, el grado en que las regiones n-dimensionales de una variedad n - dimensional difieren de regiones similares del espacio euclidiano. ver significado geométricotensor de Ricci.

Por lo general, denotado por o . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definición

Sea una variedad de Riemann de dimensión n , y sea el espacio tangente a M en el punto p . Para cualquier par de vectores tangentes en p , el tensor de Ricci , por definición, se asigna a la traza de un automorfismo lineal dado por el tensor de curvatura de Riemann R : $(M, g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi,\eta)$ $(\xi,\eta)$ $T_{p}M\a T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Si se dan coordenadas locales en la variedad, entonces el tensor de Ricci se puede expandir en componentes:

\operatorname {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

donde es la traza del tensor de Riemann en la representación de coordenadas. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Sentido geométrico

En una vecindad de cualquier punto p de una variedad de Riemann , siempre se pueden definir coordenadas locales especiales, las llamadas coordenadas geodésicas normales , en las que las geodésicas del punto p coinciden con las líneas que pasan por el origen. Además, en el propio punto p , el tensor métrico es igual a la métrica del espacio euclidiano (o la métrica de Minkowski en el caso de una variedad pseudo-riemanniana ). $(M, g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

En estas coordenadas especiales , la forma del volumen se expande en una serie de Taylor alrededor de p :

d\mu _{g}={\Gran [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Grande]}d\mu _{\text{Euclid))

Así, si la curvatura de Ricci es positiva en la dirección del vector , entonces el estrecho cono de geodésicas que emana del punto p en la dirección tendrá un volumen menor que el mismo cono en el espacio euclidiano. De manera similar, si la curvatura de Ricci es negativa, entonces el estrecho cono de las geodésicas en la dirección del vector tendrá un volumen mayor que el euclidiano. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Curvatura de Ricci y geometría en general

Sea una variedad riemanniana bidimensional completa con $METRO$ $norte$ $\nombre del operador {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Desigualdad de Bishop-Gromov . Sea , denotado por el volumen de una bola de radio con centro en , denotado por el volumen de una bola de radio en un espacio dimensional de curvatura constante . Entonces la relación $p\en M$ $v_{p}(r)$ $r$ $pags$ ${\ tilde v} (r)$ $r$ $norte$ $\kappa$ ${\frac{v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

es una función no creciente de .

r

teorema de Meyer
De la identidad de Bochner para 1-formas se deduce que si entonces los valores propios del Laplaciano no son menores que los de la esfera unitaria dimensional. ${\ estilo de visualización \ kappa = 1}$ $METRO$ $norte$

Aplicaciones del tensor de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci en la relatividad general sirve como un componente clave de las ecuaciones de Einstein .

La curvatura de Ricci también aparece en la ecuación de flujo de Ricci , en la que la métrica dependiente del tiempo se deforma en proporción a la curvatura de Ricci negativa.

Tensor de Ricci

Definición

Sentido geométrico

Curvatura de Ricci y geometría en general

Aplicaciones del tensor de Ricci

Véase también