Clase Pontryagin

La clase Pontryagin es una clase característica definida para paquetes de vectores reales . El concepto fue introducido en 1947 por el matemático soviético L. S. Pontryagin .

Para un paquete vectorial con base , las clases de Pontryagin se denotan con el símbolo y se supone que son iguales a $\xi$ $B$ $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$

p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )

donde es la complejización del paquete , ya son las clases de Chern . $\xi \otimes \mathbb {C}$ $\xi$ $c_{yo}$

Una clase Pontryagin completa es una clase característica no homogénea

p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots

Si es una variedad suave y el paquete no se especifica explícitamente, entonces se supone que hay un paquete tangente . $B$ $\xi$ $\xi$ $B$

Propiedades

La clase L y la clase - de Hirzebruch se expresan en términos de las clases de Pontryagin. ${\ sombrero {A}}$
Si , son dos paquetes de vectores reales sobre una base común, entonces la clase de cohomología tiene orden como máximo dos. $\xi$ $\eta$
$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$
- En particular, si el anillo de coeficientes contiene 1/2, entonces se cumple la igualdad .
  ${\ estilo de visualización p (\ xi \ oplus \ eta) = p (\ xi) p (\ eta)}$
Las clases de Pontryagin con coeficientes racionales de dos variedades homeomorfas coinciden (teorema de S. P. Novikov )
- Hay un ejemplo que muestra que las clases enteras de Pontryagin no son invariantes topológicas.
Para un paquete de 2k dimensiones , donde denota la clase de Euler . $\xi$
$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
${\ estilo de visualización e (\ xi)}$

Literatura

Pontryagin L. S. “Mat. Sb., 1947, tomo 21, pág. 233-84;
Novikov S. P. “Informe. Academia de Ciencias de la URSS, 1965, v. 163, p. 298-300;
Milnor J. , Stashef J. Clases de características = Clases de características. — M .: Mir , 1979. — 371 p. - 6500 copias.