Congruencia

La congruencia es una relación de equivalencia en un sistema algebraico que se conserva durante las operaciones básicas. El concepto juega un papel importante en el álgebra universal : cualquier congruencia genera un sistema de factores correspondiente , una partición del sistema algebraico original en clases de equivalencia con respecto a la congruencia.

Definición

Una relación sobre un conjunto se llama estable con respecto a la operación -aria definida sobre este conjunto, si para cualquier elemento ( ) del conjunto , la verdad de la relación ( ) se sigue de la verdad de la relación . $\theta(x_1, \ldots, x_m)$ $A$ $norte$ $F$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $A$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

Una relación se llama congruencia en un sistema algebraico si es estable con respecto a cada operación principal del sistema . (Con esta definición, el concepto de congruencia no depende de las relaciones subyacentes del sistema ). $\ theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Sistema factorial

Para un sistema algebraico en un conjunto de cocientes , por congruencia para todas las operaciones y relaciones , las operaciones y relaciones sobre las clases laterales correspondientes se introducen naturalmente: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \ theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\estrella ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta

r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \puntos, b_m)

El sistema resultante se denota y se llama sistema de factores, y el mapa definido por la regla se llama epimorfismo canónico . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

El conjunto de todas las congruencias de este sistema forma un retículo completo con respecto a las operaciones de unión e intersección , y también define la relación de inclusión: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

Para cualquier conjunto de congruencias de un sistema algebraico dado , se cumple el siguiente resultado ( teorema de Remak ): un sistema factorial sobre la intersección de un conjunto de congruencias se incrusta en un producto directo de sistemas factoriales sobre cada una de las congruencias del conjunto: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Literatura

Artamónov V. A. . Capítulo VI. Álgebras Universales // Álgebra General / Ed. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 ejemplares.