Sistema de factores

Un sistema de factores en álgebra universal es un objeto obtenido al dividir un sistema algebraico en clases laterales mediante una relación de equivalencia que es estable con respecto a sus operaciones básicas y, en consecuencia, también es un sistema algebraico. Un álgebra factorial es un sistema factorial obtenido sobre un álgebra (un sistema sin relaciones), un modelo factorial es un sistema factorial sobre un modelo (un sistema sin operaciones).

Un sistema de cocientes es una generalización de factorizaciones algebraicas: un grupo de cocientes , un anillo de cocientes , un álgebra de cocientes son sistemas de cocientes sobre un grupo , un anillo , un álgebra sobre un campo , respectivamente.

Definición

Para un sistema algebraico , , y una relación binaria , que es una congruencia sobre , es decir, estable con respecto a cada una de las operaciones principales - a partir de la entrada en la relación de un determinado conjunto se sigue el cumplimiento - el sistema factorial se construye como un sistema algebraico , con un portador - un factor sobrepuesto con respecto a la congruencia , el siguiente conjunto de operaciones: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\a A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\a A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $\sigma \subseteq A \times A$ $\mathfrak A$ $f_i \in F$ $\forall_{j\in 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$ $(f(a_1, \puntos a_{n_i}), f(b_1, \puntos b_{n_i})) \en \sigma$ $\mathfrak A / \sigma$ $A/\sigma$ $A$ $\sigma$

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma , \puntos \rango

y el siguiente conjunto de relaciones:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle

donde significa transición a clases laterales con respecto a la congruencia : $^\estrella$ $\sigma$

f^\estrella ([a_1]_\sigma, \puntos [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \puntos a_n)]_\sigma

para operaciones y

r^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r( b_1, \puntos b_m)

para las relaciones

(la clase de adyacencia es el conjunto de todos los elementos equivalentes con respecto a : ). $[a]_\sigma$ $a$ $\sigma$ $\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$

Así, el sistema factorial es del mismo tipo que el sistema . Es fundamental en la definición que la estabilidad de la relación de factoraje se requiere solo para las operaciones principales, pero no para las relaciones del sistema: para las operaciones, la estabilidad es necesaria para una transición inequívoca a las clases laterales, mientras que la transición a las clases laterales para las relaciones es introducido por la definición (la existencia en cada una de las clases laterales de al menos un elemento en la relación). $\mathfrak A / \sigma$ $\mathfrak A$

Propiedades

El mapeo natural que asocia un elemento con su clase lateral con respecto a la congruencia: es un homomorfismo de a un sistema de cociente [1] [2] . $\phi: A \a A/\sigma$ $\phi(a) = [a]_\sigma$ $\mathfrak A$ $\mathfrak A/\sigma$

El teorema del homomorfismo establece que para cualquier homomorfismo y su conguridad de kernel, el mapeo natural (es decir, ) es un homomorfismo. Si el homomorfismo es fuerte , es decir, para cada predicado de y cualquier conjunto de elementos , la afirmación implica la existencia de preimágenes tales que , entonces es un isomorfismo . Así, el conjunto de todos los sistemas factoriales de un sistema dado, salvo isomorfismo, coincide con el conjunto de todas sus imágenes fuertemente homomórficas [3] . Para álgebras que no tienen relaciones en la firma, cualquier homomorfismo es fuerte, es decir, el conjunto de álgebras factoriales de un álgebra dada, salvo isomorfismo, coincide con el conjunto de sus imágenes homomórficas. $\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$ ${\displaystyle \sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\))$ $\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$ $\phi^\estrella([a]_\sigma) = \phi(a)$ $\fi$ $r'_k\in R'$ $a'_1,\puntos a'_n \en A'$ $(a'_1,\puntos a'_n) \in r'_k$ $a_1 \en \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \en \phi^{-1}a'_n$ $(a_1,\puntos a_n) \in r_k$ $\fi$

Notas

↑ Maltsev, 1970 , pág. 61-62.
↑ Gretzer, 2008 , Lema 2, p. 36.
↑ Maltsev, 1970 , Teorema 1, p. 63-64.

Literatura

Artamónov V. A. . Capítulo VI. Álgebras Universales // Álgebra General / Ed. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Cohn P. Álgebra universal. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev I.A. Sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 ejemplares.
Gratzer, Jorge. . Álgebra universal. 2ª edición. - Springer , 2008. - 585 págs. — ISBN 978-0-387-77486-2 .