Matriz de conferencias

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En matemáticas , una matriz de conferencia (también llamada matriz C, matriz de conferencia ) es una matriz cuadrada C con ceros en la diagonal y con +1 y −1 fuera de la diagonal, de modo que C T C es un múltiplo de la matriz identidad I . Así, si la matriz C tiene orden n , entonces C T C = ( n −1) I . Algunos autores dan una definición más general, requiriendo cero en cada fila y cada columna, pero no necesariamente en la diagonal [1] [2] .

Las matrices de conferencia surgieron originalmente en relación con las tareas de telefonía [3] . Fueron introducidos por Vitold Belevich , el término matriz de conferencia fue introducido por él. Belevich estaba interesado en crear una red telefónica ideal para conferencias a partir de transformadores ideales . Descubrió que tales redes podían ser representadas por matrices de conferencias, lo que les dio su nombre [4] . Las matrices de conferencias también se utilizan en estadística [5] y geometría elíptica [6] .

Para n > 1 ( n siempre es par), hay dos tipos de matrices conferencia. Si lleva la matriz de conferencias a su forma normal, se vuelve simétrica (si n es divisible por 4) o antisimétrica (si n es par, pero no divisible por 4).

Vista normal de la matriz de la conferencia

Para obtener la forma normal de la matriz de conferencia C , necesita:

  1. Reorganice las filas de la matriz C para que todos los ceros estén en la diagonal (si se usa una definición más general de una matriz de conferencia)
  2. En aquellas líneas en las que el primer elemento sea negativo, cambie el signo de todos los elementos.
  3. Cambia o no cambia el signo de los elementos de la primera fila para obtener una matriz simétrica o antisimétrica.

La matriz obtenida por tales transformaciones a partir de la matriz de conferencia es también una matriz de conferencia. Los primeros elementos de cada fila excepto el primero en la vista normal de la matriz de conferencia son 1 (la primera fila tiene el primer elemento 0).

Matriz de conferencia simétrica

Si C  es una matriz conferencia simétrica de orden n > 1, entonces no solo n debe ser congruente con 2 (mod 4), sino que también n − 1 debe ser la suma de los cuadrados de dos enteros [7] . Utilizando la teoría matricial elemental, se puede demostrar [6] que n − 1 siempre será la suma de los cuadrados de los números enteros si n − 2 es una potencia de un número primo [8] .

Dada una matriz conferencia simétrica C , la submatriz S obtenida al eliminar la primera fila y columna de C puede considerarse como la matriz de adyacencia de Seidel de algún grafo . Este es un gráfico con n − 1 vértices correspondientes a las filas y columnas de la matriz S , dos vértices son adyacentes si los elementos correspondientes de la matriz S son negativos. El grafo resultante es estrictamente regular y pertenece al tipo de grafos de conferencia (llamados así precisamente por la matriz de conferencia).

La existencia de matrices de conferencia de orden n , permitidas por las restricciones anteriores, se conoce solo para algunos valores de n . Por ejemplo, si n = q + 1 donde q es una potencia prima congruente con 1 (mod 4), entonces los gráficos de Paley dan ejemplos de matrices simétricas de orden n : la matriz de adyacencia de Seidel del gráfico de Paley se toma como S. Primeros órdenes posibles de matrices conferencia simétricas n = 2, 6, 10, 14, 18, (no 22, ya que 21 no es la suma de dos cuadrados), 26, 30, (no 34, ya que 33 no es la suma de dos cuadrados), 38, 42, 46, 50, 54, (no 58), 62 ( secuencia OEIS A000952 ); para todos los valores dados, se sabe que existen matrices de conferencias simétricas. Para n = 66, la pregunta permanece abierta.

Ejemplo

La matriz de conferencia esencialmente única de orden 6 tiene la forma:

,

todas las demás matrices conferencia de orden 6 se obtienen de ésta cambiando el signo de algunas filas y/o columnas (y también permutando filas y/o columnas si se usa una definición más general).

Matrices de conferencias antisimétricas

Las matrices de conferencias antisimétricas también se pueden obtener por el método de Paley. Sea q  una potencia prima con resto 3 (mod 4). Entonces hay un gráfico de Paley de orden q que conduce a una matriz conferencia antisimétrica de orden n = q + 1. Esta matriz se obtiene tomando una matriz q × q para S con +1 en el ( i, j )ésimo posición y −1 en ( j, i )th si hay un borde de dígrafo de i a j , y ceros en la diagonal. Entonces S se construye a partir de S como en el caso simétrico, pero la primera fila se construye a partir de números no positivos. La S resultante será una matriz de conferencia antisimétrica.

Este método resuelve sólo una pequeña parte del problema de determinar para qué n divisible por 4 existen matrices de conferencia antisimétricas de orden n .

Notas

  1. ↑ Malcolm Greig, Harri Haanpää y Petteri Kaski, Journal of Combinatorial Theory, Serie A, vol. 113, núm. 4, 2006, págs. 703-711, doi : 10.1016/j.jcta.2005.05.005
  2. ↑ Harald Gropp, Más sobre matrices orbitales, Electronic Notes in Discrete Mathematics, vol. 17, 2004, págs. 179-183, doi : 10.1016/j.endm.2004.03.036
  3. ↑ Belevitch, págs. 231-244.
  4. ↑ Colbourn y Dinitz, (2007), p.19
    van Lint y Wilson, (2001), p.98
    Stinson, (2004), p.200
  5. ↑ Raghavarao, D. Algunos diseños de pesaje óptimos  //  Annals of Mathematical Statistics : diario. - 1959. - Vol. 30 , núm. 2 . - P. 295-303 . -doi : 10.1214 / aoms/1177706253 .
  6. ↑ 1 2 van Lint, JH y Seidel, JJ (1966), Conjuntos de puntos equiláteros en geometría elíptica. Indagationes Mathematicae , vol. 28, págs. 335-348.
  7. ↑ Belevitch, p.240
  8. ↑ Stinson, p.78

Literatura