Categoría completa

Una categoría se llama completa pequeña si cualquier diagrama pequeño en ella tiene un límite . El concepto dual es una categoría pequeña cocompleta , es decir, una en la que cualquier diagrama pequeño tiene un colímite . La completitud finita y, en general, la completitud α se definen de manera similar para cualquier α cardinal regular . De todas ellas, la más utilizada es completitud en lo pequeño, por lo tanto, las categorías que están completas en lo pequeño se denominan simplemente completas . La existencia de límites en general de todos los diagramas (no necesariamente pequeños) resulta ser una condición demasiado fuerte, ya que tal categoría sería necesariamente un preorden y habría como máximo un morfismo entre dos cualesquiera de sus objetos.

Una categoría que es a la vez completa y cocompleta se llama bicompleta .

Una propiedad más débil de una categoría es la completitud finita. Se dice que una categoría es finitamente completa si en ella existen todos los límites finitos (es decir, los límites de todos los diagramas indexados por un conjunto finito). Las categorías finitamente cocompletas se definen de manera similar.

Ejemplos

Las siguientes categorías son bi-full:
- establecer categoría ; ${\mathcal {S}}et$
- categoría de grupo ; ${\mathcal {G}}rp$
- categoría de anillo ; ${\mathcal {R}}ing$
- la categoría de grupos abelianos ; ${\mathcal {A}}b$
- la categoría de espacios topológicos ; ${\mathcal {T}}op$
- la categoría de espacios compactos de Hausdorff ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- categoría de pequeñas categorías ; ${\mathcal {C}}en$
Las siguientes categorías son, por supuesto, bicompletas, pero no completas o cocompletas:
- categoría de conjuntos finitos ; $f{S}et$
- la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo ; $k$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- categoría de grupos finitos ; $f{\mathcal {G}}rp$
En general, si es una categoría de modelos de alguna teoría algebraica , entonces es completa y cocompleta, ya que es reflexiva en . Recuerde que la teoría algebraica solo permite condiciones en operaciones que son identidades (¡no cuantificadores!). Digamos que la categoría de campos no es una categoría de modelos de teoría algebraica, por lo que la afirmación anterior no se aplica a ella. No es completo ni completo. $\mathrm {Mod}_{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod}_{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$
( teorema del límite con un parámetro ) Si una categoría es completa (cocompleta), entonces la categoría es completa (cocompleta) para cualquier categoría y los límites se calculan por puntos. ${\ matemáticas {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}),{\mathcal {C)))$ $\mathcal{A}$
Cualquier categoría abeliana es finitamente completa y ciertamente cocompleta.
Un pedido anticipado está completo si tiene un elemento más grande y cualquier conjunto de elementos tiene un límite superior mínimo . De manera similar, es copolon si tiene un elemento más pequeño y cualquier conjunto de elementos tiene un límite mínimo.
La categoría de espacios métricos Met es finitamente completa, pero no es completa y ni siquiera tiene coproductos finitos.

Propiedades

Hay un teorema de que una categoría es completa si y sólo si todos los ecualizadores y productos pequeños existen en ella . En consecuencia, una categoría está completa si contiene todos los coigualadores y pequeños coproductos.

Por supuesto, la categoría completa también se puede caracterizar de varias maneras. Es decir, las siguientes declaraciones son equivalentes:

C ciertamente está lleno,
C tiene todos los ecualizadores y productos finitos,
C tiene todos los ecualizadores, productos binarios y un objeto terminal .
C tiene todos los cuadrados cartesianos y un objeto terminal.

Las declaraciones duales también son equivalentes.

Una categoría pequeña está completa en el pequeño solo si es un pedido anticipado. Lo mismo es cierto para la categoría cocompleto; además, para una categoría pequeña, lo completo y lo completo son equivalentes en lo pequeño. [una]

Si una categoría está completa en una categoría pequeña, entonces, para cualquier categoría pequeña, cualquier funtor tiene una extensión de Kahn correcta con respecto a cualquier funtor , y cualquier extensión de Kahn es puntual. La afirmación se sigue claramente de la representación de la extensión puntual de Kahn como un límite. $C$ $A$ $F\dos puntos A\a C$ $\mathrm {Ran}_{K}F$ $K\dos puntos A\a B$

Notas

↑ Categorías abstractas y concretas, Jiří Adámek, Horst Herrlich y George E. Strecker, teorema 12.7, página 213

Literatura

S. McLane Categorías para un matemático en activo, - M. : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. Análisis categórico de la lógica, - M. : Mir, 1983. - 487 p.
F. Borceux. Manual de Álgebra Categórica 1. Teoría Básica de Categorías. — Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich y George E. Strecker. Categorías Abstractas y Concretas (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .