Categoría de espacios métricos

La categoría de espacios métricos o Met es una categoría cuyos objetos son espacios métricos y cuyos morfismos son mapeos cortos . (Debido a que la composición de dos mapeos cortos es corta, estos objetos y morfismos forman una categoría).

El inicio del estudio de esta categoría lo dio John Isbell .

Flechas

Los monomorfismos en Met son asignaciones cortas inyectivas . Los epimorfismos son mapeos cortos con una imagen densa en todas partes. Isomorfismos - isometrías .

Por ejemplo, la inclusión de números racionales en los números reales es un monomorfismo y un epimorfismo, pero no un isomorfismo.

El espacio métrico vacío es el objeto Met inicial ; cualquier espacio métrico de un punto es un objeto terminal . Debido a que el objeto de inicio y el objeto final son diferentes, no hay objetos nulos en Met .

Los objetos inyectivos en Met se denominan espacios métricos inyectivos . Los espacios métricos inyectivos fueron introducidos y estudiados primero por Aronszajn & Panitchpakdi (1956 ), antes del estudio de Met como categoría; también se pueden definir internamente en términos de la propiedad de Helly de sus bolas métricas y, debido a esta definición alternativa, se les ha llamado espacios hiperconvexos. Cualquier espacio métrico tiene el espacio métrico inyectivo más pequeño en el que se puede incrustar isométricamente, llamado casco inyectivo .

Obras

El producto de un conjunto finito de espacios métricos en Met es el producto directo de espacios de distancia en espacio de producto definido como la suma de distancias en espacios de coordenadas.

El producto de un conjunto infinito de espacios métricos puede no existir, ya que las distancias en los espacios base pueden no tener un supremo. Es decir, Met no es una categoría completa , sino finitamente cerrada. No hay coproducto en el Met .

Variaciones y generalizaciones

Met no es la única categoría cuyos objetos son espacios métricos; otros incluyen la categoría de funciones uniformemente continuas , la categoría de funciones de Lipschitz y la categoría de aplicaciones cuasi-Lipschitz. Las asignaciones cortas son uniformemente continuas y de Lipschitz, con una constante de Lipschitz como máximo uno.

También resulta conveniente ampliar la categoría de espacios métricos, permitiendo, por ejemplo, que tomen valor las distancias o pasando a espacios premétricos, es decir, abandonando la desigualdad y simetría del triángulo por la métrica.

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