Límite (teoría de categorías)

Un límite en la teoría de categorías  es un concepto que generaliza las propiedades de construcciones tales como un producto , un cuadrado cartesiano y un límite inverso . La noción dual de un colímite generaliza las propiedades de construcciones tales como unión disjunta , coproducto , codecartes cuadrado y límite directo .

Los límites y colímites, así como los conceptos estrechamente relacionados de la propiedad universal y los funtores adjuntos , son conceptos de un alto nivel de abstracción. Para entenderlos mejor, es útil estudiar primero ejemplos de construcciones que estos conceptos generalizan.

Definición

Los límites y colímites se definen mediante diagramas . Un diagrama tipo J en la categoría C  es un funtor:

La categoría J es una categoría de indexación y el funtor F juega el papel de etiquetar objetos y morfismos de la categoría C en términos de la categoría J. De mayor interés es el caso cuando J  es una categoría pequeña o finita. En este caso, el diagrama F  : J → C se llama pequeño o finito.

Sea  F  : J → C un diagrama de tipo J en la categoría C . Un cono sobre F  es un objeto N en C junto con una familia de morfismos ψ X  : N → F ( X ) indexados por objetos X de la categoría J tal que para cualquier morfismo f  : X → Y en J es cierto que F ( F ) o ψ X = ψ Y .

El límite de un diagrama F  : J → C  es un cono ( L , φ) sobre F tal que para cualquier cono ( N , ψ) sobre F hay un único morfismo u  : N → L tal que φ X o u = ψ X para todos los X a J . [una]

La noción de colímite  se define de manera similar: todas las flechas deben estar invertidas. A saber:

La cocona de un diagrama F  : J → C  es un objeto N de la categoría C junto con una familia de morfismos:

para todo X en J tal que ψ Y o F ( f ) = ψ X es cierto para cualquier morfismo f  : X → Y en J .

El colímite del diagrama F  : J → C  es un cocono ( L , φ) tal que para cualquier otro cocono ( N , ψ) existe un único morfismo u  : L → N tal que u o φ X = ψ X para todo X en J. _

Como cualquier objeto universal, los límites y los colímites no siempre existen, pero si existen, se definen hasta el isomorfismo.

Ejemplos de límites

La definición de un límite categórico es lo suficientemente amplia como para generalizar otras construcciones categóricas de uso frecuente. Los ejemplos consideran el límite ( L , φ) del diagrama F  : J → C.

• objetos terminales. Si J  es una categoría vacía, solo hay un diagrama de tipo J en C , el  vacío. El cono sobre el diagrama vacío es simplemente cualquier objeto de categoría C. Un límite sobre F  es cualquier objeto para el cual existe un morfismo único de cualquier objeto, es decir, un objeto terminal.
• Obras de arte Aquí J  es una categoría discreta (sin morfismos), y el diagrama definido por el funtor F  es una familia de objetos C indexados por J y el límite es su producto junto con proyecciones a factores, las proyecciones forman una familia de morfismos a partir de la definición de un cono.
• ecualizador _ Aquí J  es una categoría de dos objetos y dos morfismos paralelos, luego F  son dos morfismos paralelos y el límite es su ecualizador.
  • El kernel  es un caso especial del ecualizador, donde uno de los morfismos es nulo.
• cuadrado cartesiano . Aquí J consta de tres objetos y morfismos desde el primer y segundo objeto hasta el tercero.
• Si J es una categoría de un elemento y el morfismo de identidad ,  entonces el límite es el elemento en el que se asigna J.
• Límites topológicos. Los límites de función son un caso especial de límites de filtro , que están relacionados con los límites categóricos de la siguiente manera. En un espacio topológico X , considere F  , un conjunto de filtros sobre X , un punto x ∈ X , V ( x ) ∈ F  , un filtro de vecindades x , A ∈ F  , algún filtro específico y  un conjunto de filtros más delgados que A y convergente a x . En los filtros F , se puede definir una estructura de categorías diciendo que existe una flecha A → B si y solo si A ⊆ B. El anidamiento se convierte en un funtor y la siguiente declaración es verdadera: x  es un límite topológico de A si y sólo si A  es un límite categórico. [2]

Propiedades

Existencia

Se dice que una categoría tiene límites de tipo J si cualquier diagrama de tipo J tiene un límite.

Una categoría se llama completa si tiene un límite para cualquier diagrama pequeño (es decir, un diagrama cuyos elementos forman un conjunto). Las categorías finitamente completas y cocompletas se definen de manera similar.

Propiedad genérica

Considere una categoría C con diagrama J. La categoría de funtores C J puede considerarse como la categoría de diagramas de tipo J en C . Un funtor diagonal  es un funtor que asigna un elemento N de categoría C a un funtor constante Δ( N ) : J → C que asigna todo a N .

Dado un diagrama F : J → C (entendido como un objeto C J ), la transformación natural ψ : Δ( N ) → F (entendido como un morfismo de la categoría C J ) es el mismo que el cono de N a F . Las componentes de ψ  son morfismos ψ X  : N → F ( X ) . Las definiciones de límite y colimit se pueden reescribir como [3] :

• El límite de F  es la flecha universal de Δ a F .
• El colimit F  es la flecha universal de F a Δ .

Funtores y límites

El funtor G  : C → D induce un mapeo de Cone( F ) a Cone( GF ) . G conserva límites en F si ( GL , G φ)  es un límite de GF cuando ( L , φ)  es un límite de F [4] . Un funtor G conserva todos los límites de tipo J si conserva los límites de todos los diagramas F  : J → C . Por ejemplo, se puede decir que G conserva productos, ecualizadores, etc.. Un funtor continuo  es un funtor que conserva todos los límites pequeños . Se introducen definiciones similares para colimits.

Una propiedad importante de los funtores adjuntos  es que cada funtor adjunto derecho es continuo y cada funtor adjunto izquierdo es finitamente continuo [5] .

Un funtor G  : C → D plantea límites para un diagrama F  : J → C si el hecho de que ( L , φ)  sea un límite de GF implica que existe un límite ( L ′, φ′) en F tal que G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . Un funtor G eleva los límites de tipo J si eleva los límites para todos los diagramas de tipo J. Hay definiciones duales para colimits.

Notas

1. ↑ Goldblatt, 1983 , pág. 70-71.
2. ↑ Intercambio de pilas de matemáticas, respuesta de Stephan F. Kroneck . Consultado el 6 de abril de 2014. Archivado desde el original el 1 de mayo de 2013. (indefinido)
3. ↑ McLane, 2004 , pág. 81, 83.
4. ↑ McLane, 2004 , pág. 137.
5. ↑ McLane, 2004 , pág. 140.
6. ↑ Adamek, 1990 , pág. 227.

Literatura

• McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• R. Goldblatt. Topoi. Análisis categórico de la lógica. - M. : Mir, 1983. - 487 p.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Categorías abstractas y concretas . — 1990. Publicación original. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea).