Matriz anti-hermitiana

En matemáticas , una matriz anti- hermitiana o sesgada-hermitiana es una matriz cuadrada A cuya conjugación hermitiana cambia el signo de la matriz original:

A^{\daga}=-A,

o elemento por elemento:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i))},

donde denota la conjugación compleja del número . $\overline{x}$ $X$

Propiedades

La matriz B es hermítica si y sólo si la matriz i B es antihermítica. Esto implica que si A es antihermitiana, entonces las matrices ±iA son hermitianas. Además, cualquier matriz A antihermitiana puede representarse como A = i B , donde B es hermitiana. Por lo tanto, las propiedades de las matrices antihermitianas se pueden expresar utilizando las propiedades de las hermitianas y viceversa.
La matriz A es anti-hermitiana si y solo si para cualquier vector y (la forma es anti-hermitiana). $X^{\daga}A^{\daga}Y=-X^{\daga}AY$ $X$ $Y$ $X^{\daga}AY$
Las matrices antihermitianas se cierran bajo suma, multiplicación por un número real, elevación a una potencia impar, inversión (matrices no singulares).
Las matrices antihermitianas son normales .
Un poder uniforme de una matriz anti-hermitiana es una matriz hermitiana. En particular, si es anti-hermitiano, entonces es hermitiano. $A$ ${\ estilo de visualización A^{2}}$
Los valores propios de una matriz antihermitiana son cero o puramente imaginarios .
Cualquier matriz cuadrada se puede representar como la suma de una hermítica y una antihermítica:

M=M_{h}+M_{a}

, dónde

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\daga})

— Hermitiano,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\daga})

- anti-ermitano.

Una matriz es antihermitiana si y solo si su exponente es unitario . $A$ $e^{A}$

Las matrices anti-hermitianas forman el álgebra de Lie del grupo de Lie . ${\mathfrak{u}}(n)$ $Naciones Unidas)$

Para cualquier número complejo tal que , existe una correspondencia biunívoca entre matrices unitarias que no tienen autovalores iguales a , y matrices antihermitianas , dadas por las fórmulas de Cayley: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $tu$ $a$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

yo

En particular, cuando :

{\ estilo de visualización \ lambda = -1}

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(IU)(I+U)^{-1}.