Matriz normal

En matemáticas , se dice que una matriz cuadrada compleja A es normal si

A^{*}A=AA^{*}

donde A ∗ es la matriz transpuesta conjugada de A . Así, una matriz es normal si y solo si conmuta con su conjugada-transpuesta.

Una matriz real A satisface A ∗ = A T , y por lo tanto es normal si A T A = AA T .

La normalidad es una prueba conveniente para la reducibilidad a una forma diagonal : una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal y, por lo tanto, cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A ∗ A = AA ∗ puede reducirse a una forma diagonal. (Se dice que dos matrices A y B son unitariamente semejantes si existe una matriz unitaria S tal que A = S -1 BS .)

El concepto de matriz normal se puede extender a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita y elementos normales en C*-álgebras .

Ocasiones especiales

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermitianas y sesgadas-hermitianas son normales. Entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y asimétricas son normales. Sin embargo, no es cierto que todas las matrices normales sean unitarias, hermitianas o sesgadas. Por ejemplo,

A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}

no es ni unitario, ni hermitiano, ni sesgado-hermitiano, aunque es normal, ya que

AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.

Consecuencias

Frase. Una matriz triangular normal es diagonal .

Sea A una matriz triangular superior normal. Como ( A ∗ A ) ii = ( AA ∗ ) ii , la primera fila debe tener la misma norma que la primera columna:

\left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.

Los primeros elementos de la primera fila y la primera columna son iguales, y el resto de la primera columna consta de ceros. De esto se deduce que en la cadena todos los elementos de 2 a n deben ser cero. Continuando con este razonamiento para pares fila/columna con números del 2 al n , obtenemos que A es diagonal.

El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son exactamente aquellas de las que trata el teorema espectral :

Frase. Una matriz A es normal si y sólo si existe una matriz diagonal Λ y una matriz unitaria U tales que A = U Λ U ∗ .

Los elementos diagonales de la matriz Λ son valores propios , y las columnas de U son vectores propios de la matriz A. (los valores propios en Λ están en el mismo orden que sus vectores propios correspondientes en U ).

Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son exactamente aquellas matrices que se pueden representar como una matriz diagonal eligiendo una base ortonormal apropiada para el espacio C n . También se puede argumentar que una matriz es normal si y solo si su espacio propio coincide con C n y los vectores propios son ortogonales con respecto al producto interno estándar en C n .

El teorema espectral para matrices normales es un caso especial de la descomposición de Schur más general , que se cumple para todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Entonces, según la descomposición de Schur, es unitariamente similar a una matriz triangular superior, digamos B . Si A es normal, entonces B también es normal. Pero entonces B debe ser diagonal por la razón expuesta anteriormente.

El teorema espectral permite clasificar las matrices normales en términos del espectro, por ejemplo:

Frase. Una matriz normal es unitaria si y solo si su espectro se encuentra en el círculo unitario del plano complejo. Frase. Una matriz normal es autoadjunta si y solo si su espectro está contenido en R.

En general, la suma o producto de dos matrices normales no es necesariamente una matriz normal. Sin embargo, se hace lo siguiente:

Frase. Si A y B son normales y se cumple AB = BA , entonces tanto AB como A + B también son normales. Además, existe una matriz unitaria U tal que UAU ∗ y UBU ∗ son diagonales. En otras palabras, A y B son conjuntamente reducibles a la forma diagonal .

En este caso particular, las columnas de la matriz U ∗ son vectores propios tanto de A como de B y forman una base ortonormal en C n . De los teoremas se desprende la afirmación de que las matrices conmutativas sobre un campo algebraicamente cerrado son conjuntamente reducibles a forma triangular y que una matriz normal es reducible a una diagonal, en este último caso con el añadido de que esto se puede hacer simultáneamente .

Definiciones equivalentes

Se puede dar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja n × n . Las siguientes declaraciones son equivalentes:

A es normal.
A es reducible a la forma diagonal por medio de una matriz unitaria.
Todos los puntos en el espacio se pueden obtener como combinaciones lineales de algún conjunto de vectores propios ortonormales de la matriz A .
|| hacha || = || A ∗ x || para cualquier x .
La norma de Frobenius de una matriz A se puede calcular a partir de los valores propios de la matriz A : $\operatorname {tr}(A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.$
La parte hermitiana y la parte sesgada-hermitiana de la matriz A conmutan. $(A+A^{\ast})/2$ $(AA^{{\ast)))/2$
A ∗ es un polinomio (de grado ≤ n − 1 ) en A [1] .
A ∗ = AU para alguna matriz unitaria U [2] .
U y P conmutan, donde U y P representan una descomposición polar de A = UP en una matriz unitaria U y alguna matriz definida positiva P .
A conmuta con alguna matriz normal N que tiene diferentes valores propios.
yo = | yo | _ para todo 1 ≤ i ≤ n , donde A tiene valores propios singulares σ 1 ≥ ... ≥ σ n y vectores propios | λ 1 | ≥ ... ≥ | λn | . [3]
La norma del operador de una matriz normal A es igual al radio numérico y espectral [en ] la matriz A. Significa:

\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|=\sup _{{\|x\|=1}}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\ lambda |:\lambda \en \sigma (A)\}

Algunas, pero no todas, de las definiciones enumeradas anteriormente se pueden generalizar a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es solo cuasinormal .

Analogías

A veces es útil (y a veces engañoso) considerar las relaciones de diferentes tipos de matrices normales como una analogía con diferentes tipos de números complejos:

Las matrices invertibles son análogas a los números complejos distintos de cero
La matriz conjugada-transpuesta es análoga al número conjugado
Las matrices unitarias son análogas a los números complejos con valor absoluto 1
Las matrices hermitianas son análogas a los números reales.
Las matrices definidas positivas hermitianas son análogas a los números reales positivos.
Las matrices sesgadas-hermitianas son análogas de números puramente imaginarios

Uno puede incrustar números complejos en matrices reales normales de 2 × 2 mediante el mapeo

a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}},

y esta incrustación preserva la suma y la multiplicación. Es fácil comprobar que en este caso se conservan todas las analogías anteriores.

Notas

↑ Prueba: Si A es normal, usa la fórmula de interpolación de Lagrange para construir un polinomio P tal que λ j = P ( λ j ) , donde λ j son los valores propios de la matriz A .
↑ Cuerno, págs. 109
↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Temas en Análisis Matricial . - Cambridge University Press, 1991. - Pág . 157 . — ISBN 978-0-521-30587-7 .

Enlaces

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .