Curva de crecimiento (espectroscopia)

La curva de crecimiento es la dependencia del ancho equivalente de la línea de absorción espectral del número de átomos que absorben radiación en esta línea. Por regla general, se habla de curvas de crecimiento en relación con las líneas de absorción en los espectros de las estrellas . $W$ $norte$

La curva de crecimiento se divide en tres regiones cualitativamente distintas. Cuando el espesor óptico de la capa absorbente es pequeño, y el ancho equivalente crece en proporción directa ; esta parte de la curva de crecimiento se denomina lineal. A un espesor óptico suficientemente grande se vuelve mayor que la unidad: la profundidad central de la línea deja de crecer, la línea se satura en el centro y el crecimiento del ancho equivalente continúa debido a las alas de la línea. En esta sección de la curva de crecimiento, llamada suave, . A un valor aún mayor , partes de las alas comienzan a crecer notablemente, descritas por el perfil lorentziano . Esta parte de la curva de crecimiento se denomina región de atenuación de la radiación, en ella . $norte$ $W\propto N$ $norte$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$ $norte$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Las curvas de crecimiento se pueden calcular teóricamente para varias condiciones en la atmósfera de la estrella. Se pueden usar para determinar el contenido de ciertos elementos químicos en la atmósfera de una estrella, y al comparar las curvas de crecimiento teóricas con las observadas, es posible determinar varios parámetros de la atmósfera, en los que se basa la forma de la curva de crecimiento. sí mismo depende, por ejemplo, la temperatura o la velocidad de los movimientos microturbulentos .

La dependencia del ancho equivalente de una línea de absorción del número de átomos que la forman fue demostrada por primera vez en 1931 por Marcel Minnart .

Descripción

La curva de crecimiento es la dependencia del ancho equivalente de la línea de absorción espectral del número de átomos que absorben radiación en esta línea [1] . $W$ $norte$

Por regla general, se habla de curvas de crecimiento en relación con las líneas de absorción en los espectros de las estrellas . La radiación que sale de la fotosfera de la estrella tiene un espectro continuo , pero cuando atraviesa las capas exteriores de la atmósfera estelar , la radiación se absorbe en ciertas longitudes de onda; aparecen líneas de absorción en el espectro. En cada línea espectral, la radiación es absorbida por un cierto átomo en un cierto estado de energía, por lo que cuantos más átomos haya en el camino de la radiación, más fuerte será la absorción en la línea espectral [1] [2] [3] .

La curva de crecimiento se puede dividir en tres partes, en orden ascendente : lineal, donde ; plano, o de transición, en el que ; y el área de atenuación de la radiación, donde [1] . $norte$ $W\propto N$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Vista del perfil de la línea espectral Lyman-alfa en unidades de intensidad espectral continua a diferentes concentraciones de hidrógeno: desde 10 12 átomos por cm 2 para la línea de menor profundidad hasta 10 20 átomos por cm 2 para la línea más profunda. Entre líneas adyacentes, la concentración cambia por un factor de 10.
Curvas de crecimiento para la línea Lyman-alfa en diferentes anchos de línea Doppler , relacionadas con la mitad del ancho del perfil de la línea gaussiana (ver más abajo ) como . ${\ Displaystyle b_ {d}}$ $gramo$ $b_{d}=g/{\sqrt {\ln 2))$

Teoría

Ancho equivalente

Para describir la intensidad de las líneas de absorción espectral se utiliza el concepto de ancho equivalente : este es el tamaño de la región en longitudes de onda ( ) o en frecuencias ( ) en la que el espectro continuo emite la cantidad total de energía que es absorbida en todo el espectro. línea [2] . $W$ $W_{\lambda}$ ${\displaystyle W_{\nu ))$

Más estrictamente definido de la siguiente manera. La intensidad de la radiación en el espectro a una frecuencia se denota como , y la intensidad en el mismo espectro en ausencia de la línea en consideración se denota como : para encontrar , las regiones del espectro adyacentes a la línea se extrapolan a la región donde se observa la línea, como si estuviera ausente [2] . Se introduce un parámetro , llamado profundidad de línea, que es la fracción de radiación a una frecuencia que ha sido absorbida. Luego, el ancho equivalente está relacionado con él por la relación o ; se puede llevar a cabo un razonamiento similar para el espectro en términos de longitudes de onda, y no de frecuencias. Teóricamente, la integración debe llevarse a cabo de a , pero en la práctica se integran en un intervalo finito, que incluye las partes principales de la línea; por regla general, el ancho del intervalo no es más que unas pocas decenas de nanómetros [4] . Al mismo tiempo, está relacionado con el espesor óptico de la capa absorbente a una frecuencia de , y es directamente proporcional al número de átomos responsables de la absorción en la línea por unidad de área en la línea de visión [5] [6] [7] . $W$ $\nu$ ${\ Displaystyle yo_ {\ nu}}$ ${\displaystyle yo_{\nu}^{0))$ ${\displaystyle yo_{\nu}^{0))$ ${\displaystyle a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^{0))$ $\nu$ ${\textstyle W_{\nu }=\int_{\nu_{1}}^{\nu_{2}}a_{\nu }d\nu }$ ${\textstyle W_{\lambda}=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}}a_{\lambda}d\lambda}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $\infty$ $a_{\nu }$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$ $\nu$ $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$ $norte$

Comportamiento a baja profundidad óptica

En cualquier caso, cuando es pequeño, entonces es pequeño en todas las partes de la línea. Luego aumenta casi linealmente con , y, en consecuencia, . Cuando el grosor óptico se vuelve lo suficientemente grande, el crecimiento en el centro de la línea se ralentiza y luego prácticamente se detiene: el crecimiento lineal continúa hasta que el grosor óptico en el centro de la línea es menor que la unidad en orden de magnitud [8] [ 9] . El aumento se ralentiza, pero no se detiene, porque en las alas, las partes laterales de la línea, todavía es pequeño. La relación entre y para medios ópticamente gruesos depende del tipo de perfil de línea espectral [1] [5] [7] . $norte$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$ $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$ $W\propto N$ $a_{\nu }$ $\tau_{0}$ $W$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$ $W$ $norte$

Comportamiento a grandes espesores ópticos

En general, los diversos mecanismos de ensanchamiento , tomados aisladamente, dan como resultado una distribución gaussiana (p. ej., el movimiento térmico de los átomos) o una distribución lorentziana (p. ej., ancho de línea natural y ensanchamiento debido a colisiones). La acción combinada de estos mecanismos conduce a la formación del perfil de Voigt , que es una convolución de Gaussian y Lorentzian [10] . Dado que las alas decaen mucho más lentamente en el perfil lorentziano que en el gaussiano, las partes lejanas de las alas en el perfil voigtiano correspondiente están, en cualquier caso, cerca del perfil lorentziano. La forma de la parte central de la línea depende de los anchos de los perfiles gaussiano y lorentziano: si el perfil gaussiano es mucho más ancho, entonces la parte central del perfil Voigt estará cerca del gaussiano, y viceversa [7] [11 ] . ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ nu}}$

Perfil gaussiano

La distribución del espesor óptico en una línea con un perfil Gaussiano tiene la siguiente forma [12] :

\tau (x)=\tau _{0}\exp \left(-{\frac {x^{2}\ln 2}{g^{2))}\right),

donde es el grosor óptico en el centro de la línea, es la mitad del ancho de la línea y es la distancia al centro de la línea. Por conveniencia, podemos hacer la sustitución , entonces es la distancia desde el centro de la línea en términos del ancho Doppler, igual a . El ancho de línea equivalente con estos parámetros se puede expresar como [8] [12] : $\tau_{0}$ $gramo$ $X$ ${\textstyle u={\frac {x{\sqrt {\ln 2}}}{g}}}$ $tu$ $g/{\sqrt {\ln 2))$

W={\frac {2g}{\sqrt {\ln 2}}}\int_{0}^{\infty}\left(1-\exp \left[-\tau_{0}e ^{-u^{2}}\right]\right)du

La integral en esta expresión no se toma analíticamente, pero podemos suponer aproximadamente que para grandes , correspondientes a líneas saturadas, el integrando está cerca de 0 para grandes y de 1 para pequeñas. La condición límite entre "grande" y "pequeño" se puede tomar como el valor en el que . Esta condición se cumple para , por lo que con buena precisión resulta ser proporcional a , y por lo tanto [8] . El cálculo aproximado de la propia integral conduce al mismo resultado [13] . $\tau_{0}$ $tu$ $tu$ $tu_{0}$ $\tau_{0}e^{-u_{0}^{2}}=1$ ${\ Displaystyle u_ {0} = {\ sqrt {\ ln \ tau _ {0}}}}$ $W$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ ln \ tau _ {0}}}}$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$

Perfil de Lorenz

En una línea con un perfil Lorentziano, la distribución del espesor óptico se escribe como [14] :

\tau (x)=\tau _{0}{\frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},

donde es el grosor óptico en el centro de la línea, es la mitad del ancho de la línea y es la distancia al centro de la línea. Por conveniencia, la sustitución se hace , entonces - la distancia desde el centro de la línea en unidades de medio ancho. El ancho equivalente en este caso toma la forma [14] : $\tau_{0}$ $yo$ $X$ ${\ estilo de texto y = x / l}$ $y$

W=2l\int_{0}^{\infty}\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau_{0}}{y^{2}+1}}\ derecho]\derecho)dy

Con un tamaño lo suficientemente grande, el centro de la línea resulta estar saturado y la disminución del espesor óptico en las alas ocurre aproximadamente como . Entonces el ancho se expresa aproximadamente [8] [14] : $\tau_{0}$ ${\ estilo de visualización y^{-2}}$

W=2l\int_{0}^{\infty}\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau_{0}}{y^{2}}}\right] \right)dy

Si hacemos la sustitución [8] [14] : ${\ estilo de texto z^{2}=\tau _{0}/u^{2))$

W=2l{\sqrt {\tau_{0}}}\int_{0}^{\infty}\left(1-\exp \left[-z^{2}\right]\right )d(1/z)

Así, pues el perfil lorentziano crece proporcionalmente a , y por lo tanto, [7] [8] . $W$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ tau _ {0}}}}$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Perfil de Voigt

Las líneas de absorción en los espectros de las estrellas, por regla general, están descritas por el perfil de Voigt, en el que el ancho lorentziano es muy pequeño en comparación con el gaussiano. Esto significa que las partes centrales de las líneas están cerca de Gaussian, y las alas están cerca de Lorentzian [15] .

Por lo tanto, a valores suficientemente grandes, el espesor óptico en el centro se vuelve mayor que la unidad, pero las alas del perfil lorentziano aún son demasiado débiles y el crecimiento ocurre principalmente debido a las regiones donde el perfil de la línea es cercano al gaussiano, proporcional a . En partes alejadas muy grandes de las alas, las líneas descritas por el perfil lorentziano se vuelven bastante fuertes y comienzan a crecer aproximadamente proporcionalmente [1] [9] [16] . El valor típico del espesor óptico en el centro de la línea, en el que se produce la transición de la parte plana de la curva de crecimiento a la región de atenuación radiativa, es de aproximadamente 103 [ 8] , aunque depende de la relación del Lorentziano y anchos gaussianos: cuanto mayor sea el ancho lorentziano, menor será la transición [17] . $norte$ $W$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ ln N}}}$ $norte$ $W$ ${\ sqrt {N}}$ $\tau_{0}$

Uso

Las curvas de crecimiento se pueden calcular teóricamente para un modelo dado de la atmósfera estelar; en el caso general, para esto es necesario resolver la ecuación de transferencia radiativa para condiciones dadas en la atmósfera de la estrella, como temperatura, densidad de materia y otros parámetros dependiendo sobre la profundidad en la atmósfera. Así, la comparación de las curvas de crecimiento teóricas con las observadas permite medir aquellos parámetros de las estrellas de los que depende la curva de crecimiento, y los anchos de línea equivalentes permiten determinar la abundancia de los elementos químicos correspondientes [1] .

Para una sola estrella, la curva de crecimiento de una determinada línea se puede construir a partir de multipletes , conjuntos de líneas espectrales que corresponden a transiciones desde un nivel inferior común. Se desconoce el número de átomos para una estrella dada, pero para todas estas transiciones se sabe que es el mismo. Además, las probabilidades de transición generalmente se conocen, por lo que se puede elegir una familia apropiada de curvas de crecimiento para el multiplete y definir [18] . $norte$ $norte$

La forma de la curva de crecimiento depende, por ejemplo, de la temperatura de la estrella y de la velocidad de los movimientos microturbulentos del gas en ella. Un aumento en la temperatura y un aumento en la velocidad de la microturbulencia aumentan el ancho gaussiano de la línea, al tiempo que reducen la profundidad óptica en su centro, mientras que el ancho equivalente sigue siendo el mismo, pero la línea se satura y el crecimiento lineal se detiene en un mayor y en un ancho equivalente mayor [1] [19] . Además, la microturbulencia y la temperatura afectan la curva de crecimiento de diferentes maneras: a la misma temperatura, los átomos de diferentes masas tienen diferentes velocidades promedio y el ancho de línea gaussiano de dichos átomos es diferente. La microturbulencia, por otro lado, provoca movimiento a las mismas velocidades; esto le permite separar los efectos de la temperatura y la microturbulencia [20] . $norte$

Historia del estudio

En 1931, Marcel Minnart mostró por primera vez cómo el ancho equivalente de una línea de absorción depende del número de átomos que la forman. Otros científicos, entre los que se encontraban Donald Menzel y Albrecht Unsold , refinaron posteriormente la teoría de la curva de crecimiento [21] .

Notas

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↑ 1 2 3 Cherepashchuk A. M. Líneas espectrales . Astronet . Consultado el 1 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 2 de agosto de 2021. (indefinido)
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↑ 1 2 Tatum J. Atmósferas estelares. 11.2: Una revisión de algunos términos . Física LibreTexts (25 de enero de 2017). Consultado el 19 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 10 de agosto de 2021.
↑ Tatum J. Atmósferas estelares. 11.3: Teoría de la Curva de Crecimiento . Física LibreTexts (25 de enero de 2017). Consultado el 19 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 19 de agosto de 2021.
↑ 1 2 3 4 Richmond, M. La curva de crecimiento . Instituto de Tecnología de Rochester . Consultado el 19 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 18 de febrero de 2020. (indefinido)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Regiones de hidrógeno atómico neutro (HI) de Pogge RW . La Universidad Estatal de Ohio págs. 7-16. Consultado el 4 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 4 de septiembre de 2021.
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↑ 1 2 Tatum J. Atmósferas estelares. 11.4 : Curva de Crecimiento para Perfiles Gaussianos . Física LibreTexts (25 de enero de 2017). Consultado el 1 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 10 de agosto de 2021.
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↑ 1 2 3 4 Tatum J. Atmósferas estelares. 11.5 : Curva de Crecimiento para Perfiles Lorentzianos . Física LibreTexts (25 de enero de 2017). Consultado el 1 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 10 de agosto de 2021.
↑ Sobolev, 1985 , pág. 88-90.
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↑ Tatum J. Atmósferas estelares. 11.6: Curva de Crecimiento para Perfiles Voigt . Física LibreTexts (25 de enero de 2017). Consultado el 4 de septiembre de 2021. Archivado desde el original el 4 de septiembre de 2021.
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Literatura

Sobolev VV Curso de Astrofísica Teórica . - Ed. 3º, revisado. — M .: Nauka , 1985. — 504 p.

Líneas espectrales
Tipos	Líneas prohibidas líneas de absorción Líneas de emisión
Opciones	Longitud de onda Frecuencia medio ancho Perfil de línea espectral Ancho equivalente
Líneas significativas	H-alfa Enlace de radio de hidrógeno neutro Líneas de Fraunhofer
Conceptos relacionados	curva de crecimiento Espectro banda espectral Serie espectral