Curvatura

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La curvatura es el nombre colectivo de una serie de características ( escalares , vectoriales , tensoriales ) que describen la desviación de uno u otro “objeto” geométrico ( curva , superficie , espacio de Riemann , etc.) de los correspondientes objetos “planos” ( línea recta , plano , espacio euclidiano , etc. ) etc.).

Por lo general, la curvatura se define para cada punto en el "objeto" y se expresa como el valor de alguna expresión diferencial de segundo orden . A veces, la curvatura se define en un sentido integral , por ejemplo, como una medida , tales definiciones se utilizan para "objetos" de suavidad reducida. Por regla general, la desaparición idéntica de la curvatura en todos los puntos implica una coincidencia local del "objeto" en estudio con un objeto "plano".

Este artículo ofrece solo algunos ejemplos simples de definiciones del concepto de curvatura.

Curvatura de una curva

Curvatura de una curva dada paramétricamente

Sea una curva regular en el espacio euclidiano bidimensional parametrizada por su longitud . Después ${\ estilo de visualización \ gamma (s)}$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma}}(s)|

se llama curvatura de la curva en el punto , aquí denota la segunda derivada con respecto a . Vector $\gama$ $p=\gamma(s)$ ${\ddot {\gamma}}(s)$ $s$

k={\ddot {\gamma}}(s)

se llama vector de curvatura en el punto . $\gama$ $p=\gamma(s)$

Obviamente, esta definición se puede reescribir en términos del vector tangente : $\tau(s)={\dot {\gamma}}(s)$

k={\dot {\tau}}(s),

donde un punto sobre la letra significa la primera derivada con respecto a s.

Para una curva dada paramétricamente, en el caso general, la curvatura se expresa mediante la fórmula

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

donde y, respectivamente, denotan la primera y la segunda derivada del radio vector en el punto requerido con respecto al parámetro (en este caso, para una curva en el espacio tridimensional, uno puede entender el producto vectorial , para una curva en dos -espacio dimensional, el producto pseudoescalar , y para una curva en un espacio de dimensión arbitraria, el producto exterior ). $\gamma '$ $\gamma ''$ $\gama$ $\veces$

Conceptos relacionados

El recíproco de la curvatura de la curva ( ) se llama radio de curvatura ; coincide con el radio del círculo contiguo en un punto dado de la curva. El centro de este círculo se llama centro de curvatura . Si la curvatura de la curva es cero, entonces el círculo contiguo degenera en una línea recta. $r=1/\kappa$

Curvas en el plano

Para las curvas en un plano, se utiliza una fórmula adicional en los casos en que la curva no se da paramétricamente, sino como un lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación.

Sea una curva regular en el plano euclidiano con coordenadas dadas por una ecuación con una función diferenciable dos veces continua . Entonces su curvatura en un punto se calcula mediante la fórmula [1] $\gama$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2)))).

En particular, si la curva viene dada por la ecuación , su curvatura se calcula por la fórmula $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

Para que una curva coincida con algún segmento de una recta o con toda la recta, es necesario y suficiente que su curvatura (o vector de curvatura) en todos los puntos sea idénticamente igual a cero. $\gama$

Curvatura orientada de una curva plana

Si la curva se encuentra en el mismo plano, se le puede asignar un signo a su curvatura. Tal curvatura a menudo se llama orientada . Esto se puede hacer de la siguiente manera: si cuando el punto se mueve en la dirección del parámetro creciente, la rotación del vector tangente ocurre en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces la curvatura se considera positiva, si es en el sentido de las agujas del reloj, es negativa. La curvatura orientada se expresa mediante la fórmula

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

El signo de la curvatura depende de la elección de la parametrización y no tiene significado geométrico. El significado geométrico es un cambio en el signo de la curvatura al pasar por un punto determinado (el llamado punto de inflexión ) o la conservación del signo en un área determinada (la naturaleza de la convexidad de la curva).

Interpretación mecánica

Intuitivamente, la curvatura se puede entender con la siguiente interpretación mecánica

Supongamos que un punto material se mueve a lo largo de una curva plana. Entonces el módulo de la componente normal de la aceleración es $a$

a=\kappa \cdot v^{2},

donde es la curvatura de la curva, es la velocidad del punto [3] . ${\ estilo de visualización \ kappa}$ $v$

Tenga en cuenta que la curvatura de la curva se utiliza como una cantidad física , tiene la dimensión inversa a la unidad de longitud (en el sistema SI, es 1/m).

Curvatura de la superficie

Sea una superficie regular en el espacio euclidiano tridimensional . $\Fi$

Sea un punto $pags$ $\phi ,$

T_{p}

es el plano tangente a en el punto

\Fi

pags,

norte

es la unidad normal a en un punto

\Fi

pags,

a es un plano que pasa por y algún vector unitario en

\tarta}

norte

mi

T_p.

La curva que se obtiene como intersección del plano con la superficie se denomina sección normal de la superficie en un punto de la dirección $\gamma_e,$ $\tarta}$ $\phi ,$ $\Fi$ $pags$ $mi.$

\kappa _{e}=k\cdot n

donde denota el producto escalar , y es el vector de curvatura en el punto , se llama la curvatura normal de la superficie en la dirección . Hasta un signo, la curvatura normal es igual a la curvatura de la curva . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $pags$ $\Fi$ $mi$ $\gamma _{e}$

Hay dos direcciones perpendiculares en el plano tangente y tales que la curvatura normal en una dirección arbitraria se puede representar usando la llamada fórmula de Euler : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

donde es el ángulo entre esta dirección y , a son los valores y curvaturas normales en las direcciones y , se denominan curvaturas principales , y las direcciones y son las direcciones principales de la superficie en el punto . Las curvaturas principales son los valores extremos de las curvaturas normales. La estructura de las curvaturas normales en un punto dado de la superficie se representa gráficamente usando la indicatriz de Dupin . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $pags$

Valor

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

se llama la curvatura media de la superficie. [4] (A veces se usa otra definición: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Valor

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

llamada curvatura gaussiana o curvatura total de la superficie.

La curvatura gaussiana es un objeto de la geometría interna de las superficies; en particular, no cambia bajo flexiones isométricas.

Véase también

Literatura

Vilenkin, N. Sobre la curvatura , Kvant. - 1992. - Nº 4 . - S. 2-9, 15 . (Ruso)
Gromov M. Signo y significado geométrico de la curvatura. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", 2000. - 128 p. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Geometría diferencial (6ª edición). Moscú: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Un curso de geometría diferencial (3ª edición). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. Sobre la curvatura // Kvant . - 1989. - Nº 5 . - S. 15-21, 42 .

Notas

↑ Goldman, R. Fórmulas de curvatura para superficies y curvas implícitas // Diseño geométrico asistido por computadora. - 2005. - T. 22 , N º 7 . - S. 632-658 . -doi : 10.1016/ j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Un curso breve de matemáticas superiores. proc. asignación para universidades. M., "Más alto. escuela" c. 368 . Consultado el 26 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 15 de enero de 2022. (indefinido)
↑ Matemáticas, su contenido, métodos y significado (en tres volúmenes). - Academia de Ciencias de la URSS, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 p.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Un curso breve de geometría diferencial y topología. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Geometría diferencial, segundo año .

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En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236