Producto pseudoescalar

Un producto pseudoescalar [1] o sesgado de vectores y en un plano es un número $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {b}$

\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta ,

donde es el ángulo de rotación (en sentido antihorario) de a . Si al menos uno de los vectores es cero, entonces . Geométricamente, el producto pseudoescalar de vectores es el área orientada del paralelogramo atravesada por estos vectores. Con su ayuda, es conveniente trabajar con las áreas de los polígonos, expresar las condiciones de colinealidad de los vectores y encontrar los ángulos entre ellos. ${\ estilo de visualización \ theta = \ ángulo (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {b}$ $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {b}$ $\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =0$

El producto pseudoescalar existe solo para vectores bidimensionales, su contraparte en el espacio 3D es el producto punto triple .

Propiedades

Linealidad : Aquí , son números reales arbitrarios . $\mathbf {a} \cuña (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \cuña \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \cuña \mathbf {c} .$ $\lambda$ $\mu$
Anticonmutatividad : . $\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =-\mathbf {b} \cuña \mathbf {a}$
$\mathbf {a} \cuña \mathbf {b}$ es un pseudoescalar , es decir, invariante bajo todas las isometrías no degeneradas que no incluyen reflejos.
El producto pseudoescalar es el área orientada del paralelogramo atravesada por los vectores y . $\mathbf {a} \cuña \mathbf {b}$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ matemáticas {b}}$
- El valor absoluto del producto pseudoescalar es el
área de dicho paralelogramo. $|\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} |$
El área orientada de un triángulo se expresa mediante la fórmula $\triángulo ABC$ $S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}),$

y su área , por lo tanto, es igual al módulo de esta cantidad.

Si consideramos un plano en el espacio tridimensional, entonces

\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,

donde « » y « » son los productos vectorial y escalar , respectivamente, y es el vector unitario de la normal al plano. El signo más se toma si la base correcta en el plano, complementada con el vector , también forma una base correcta; de lo contrario menos.

\veces

{\ estilo de visualización \ \ cdot}

\matemáticas {n}

\matemáticas {n}

$\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =\mathbf {0}$ es una condición necesaria y suficiente para la colinealidad de vectores distintos de cero en el plano. El vector nulo generalmente se considera ortogonal a cualquier otro vector por conveniencia con el producto punto más común , aunque esta es una convención arbitraria.
De la linealidad y la anticonmutatividad se deduce que si se dan en el plano una base ortonormal y dos vectores con coordenadas , entonces su producto pseudoescalar es igual al determinante $\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle ,~~\angle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2} })={\tfrac{\pi}{2)),$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}),$

\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))

Esta expresión también se puede escribir en términos del símbolo de Levi-Civita en dos dimensiones:

{\displaystyle \mathbf {a} \cuña \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j))

Véase también

Notas

↑ Prasolov V.V. , Tareas en planimetría. Copia de archivo fechada el 16 de noviembre de 2011 en Wayback Machine - 4ª edición, suplementada - M.: MTSNMO, 2001. - 584 p. ; ISBN 5-900916-82-0 .

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro