El criterio de Eisenstein es un criterio para la irreductibilidad de un polinomio , llamado así por el matemático alemán Ferdinand Eisenstein . A pesar del nombre (tradicional), es precisamente un signo, es decir, una condición suficiente, pero no del todo necesaria, como se podría suponer, según el significado matemático de la palabra " criterio " (ver más abajo).
Sea un polinomio sobre el anillo factorial R ( ), y para algún primo , se cumplen las siguientes condiciones:
Entonces el polinomio es irreducible sobre F , el campo de fracciones del anillo R .
Este criterio se aplica con mayor frecuencia cuando R es el anillo de números enteros y F es el cuerpo de números racionales .
Suponga lo contrario: , donde y son polinomios sobre F de grados distintos de cero. Del lema de Gauss se deduce que pueden considerarse polinomios sobre R. Tenemos:
Por suposición , y R es factorial, entonces o bien , pero no ambos, ya que . Sea y . Todos los coeficientes no pueden ser divisibles por , porque de lo contrario sería cierto para . Sea el índice mínimo para el cual no es divisible por . Esto implica:
Desde y para todos pues , pero esto es imposible, ya que por condición y . El teorema ha sido probado.