Anillo factorial

Un anillo factorial  es un dominio de integridad en el que cada elemento x distinto de cero es invertible o se representa de forma única como un producto de elementos irreducibles x = p 1   ⋯  p n ( n ≥ 1) , hasta una permutación de los factores y la multiplicación por un invertible elemento (similar a la descomposición de los números enteros en primos ). Los anillos factoriales a menudo se llaman gaussianos después de Gauss .

Definición

Más formalmente, un anillo factorial se define como un dominio de integridad R , en el que cada elemento x distinto de cero se puede escribir como un producto (el producto vacío , si x es invertible) de elementos irreducibles pi y un elemento invertible u :

y esta descomposición es única en el siguiente sentido: Si q 1 , … ,  q m  son elementos irreducibles de R y w  es un elemento invertible tal que

entonces m = n y existe una aplicación biyectiva φ : {1, ... ,  n } → {1, ... ,  m } tal que p i  es el elemento asociado con q φ( i ) para i ∈ {1, ... ,  n } .

Ejemplos

• Todos los anillos euclidianos , en particular el anillo de los enteros (ver teorema fundamental de la aritmética ) y el anillo de los enteros gaussianos . Ver los artículos Factorización de enteros y Factorización de números gaussianos .
• Si R es factorial, entonces el anillo polinómico R [ x ] también es factorial, por lo tanto, el anillo R [ x 1 , … ,  x n ] también es factorial.
• Teorema de Auslander-Buxbaum : todo anillo local regular es factorial.
• El anillo de series de potencias formales sobre el dominio de los ideales principales es factorial.
• Sea R  un campo de característica no 2. Klein y Nagata demostraron que R [ x 1 , … ,  x n ]/ Q es factorial si Q  es una forma cuadrática no degenerada y n es al menos cinco.
• La localización de un anillo factorial es factorial. Además, mediante una localización adecuada ya partir de un anillo no factorial se puede obtener un anillo factorial. Por ejemplo, un anillo no es factorial (porque ), pero su localización es factorial.

Formulaciones equivalentes

Sea A  un anillo integral. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

• A es factorial.
• Todo ideal primo distinto de cero A contiene un elemento primo (es decir, un elemento tal que el ideal principal generado por este elemento es primo).
• A  es un anillo de Krull en el que cada divisor ideal es principal (así se define el anillo factorial de Bourbaki ).
• A  es un anillo de Krull y todo ideal primo que no contiene otros ideales primos distintos de cero es principal.

Propiedades de los anillos factoriales

1. En anillos factoriales, los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de cualquier conjunto finito de elementos, así como el concepto de coprimos de elementos, están bien definidos .

2. Lema sobre divisibilidad conjunta. Si un elemento del anillo factorial es divisible por cada uno de los elementos , , ... , y estos elementos son coprimos por pares, entonces es divisible por su producto.

3. Si , y los elementos son coprimos por pares, entonces cada uno de ellos tiene la forma , donde  son los elementos invertibles del anillo.

4. Cualquier fracción compuesta por elementos del anillo factorial puede escribirse en forma irreducible , es decir, hay elementos coprimos y (definidos unívocamente hasta asociación) tales que .

5. Teorema de Gauss. Si la fracción es la raíz de un polinomio con el mayor coeficiente igual a 1 (los elementos , así como todos los coeficientes del polinomio son elementos del anillo factorial ), entonces se encuentra en , es decir, es divisible por en el anillo . (Esta propiedad del anillo se llama integralmente cerrado ).

Literatura

• Bourbaki N. Álgebra conmutativa. — M .: Mir, 1971.
• Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
• Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 1.
• Leng S. Álgebra. -Mir, 1967.