Criterio de fuerza de Drucker-Prager

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El criterio de resistencia de Drucker-Prager es un modelo dependiente de la carga que determina el comportamiento o falla de algunos materiales bajo la influencia de la deformación plástica. Este criterio fue desarrollado para describir la deformación plástica de suelos arcillosos, y también se puede utilizar para describir la falla de suelos rocosos, concreto, polímeros, espumas y otros materiales dependientes de la presión.

Nombrado en honor a Daniel Drucker y Prager , quienes desarrollaron este modelo en 1952 [1] .

Redacción

El criterio se describe mediante la siguiente fórmula:

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

donde es la primera invariante del tensor de tensión , y es la segunda invariante del desviador [2] del tensor de tensión . Las constantes se determinan experimentalmente. $yo_1$ $J_{2}$ ${\ estilo de visualización A, B}$

En términos de tensiones equivalentes (o tensiones de von Mises ) y tensiones hidrostáticas , el criterio de Drucker-Prager se puede escribir como:

{\ estilo de visualización \ sigma _ {e} = a + b ~ \ sigma _ {m}}

donde es el esfuerzo equivalente, es el esfuerzo hidrostático y son las constantes del material. Criterio de Drucker-Prager expresado en coordenadas de Haig-Westergaard de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ sigma _ {e}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {m}}$ $a, b$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suavizada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb .

Expresiones para A y B

El modelo de Drucker-Prager se puede escribir en términos de tensiones principales:

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma _ {3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma_{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.

Si es la resistencia a la tracción uniaxial, el criterio de Drucker-Prager significa: $\sigma _{t}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Si la resistencia última en compresión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager significa: $\sigma _{c}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.

Resolviendo estas 2 ecuaciones, obtenemos

A={\cfrac {2}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma_{c}~\sigma_{t)){\sigma_{c}+\ sigma _{t))}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma_{t}-\sigma_{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\derecha)~.

Coeficiente asimétrico uniaxial

Se predijeron varios criterios de resistencia a la tracción y compresión uniaxial utilizando el modelo de Drucker-Prager. Coeficiente asimétrico uniaxial para el modelo de Drucker-Prager:

\beta ={\cfrac {\sigma_{\mathrm {c} }}{\sigma_{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B {1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Expresión en términos de ángulo de fricción y cohesión

Dado que la superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suavizada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, a menudo se expresa en términos de cohesión ( ) y ángulo de fricción interna ( ), que se utilizan en la teoría de Mohr-Coulomb . Si asumimos que la superficie de fluencia de Drucker-Prager se describe cerca de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces las expresiones para y son las siguientes: $C$ $\fi$ $A$ $B$

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3+\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )))

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager está inscrita en la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3-\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )))

El modelo de Drucker-Prager para polímeros

El modelo de Drucker-Prager se utiliza para modelar polímeros como el poliformaldehído y el polipropileno .[3] . Para el poliformaldehído, el criterio de resistencia es una función lineal de la carga. Sin embargo, para el polipropileno existe una dependencia cuadrática de la carga.

El modelo de Drucker-Prager para espumas

Para bolígrafo , el modelo GAZT [4] utiliza:

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\ izquierda ({\ cfrac {\ rho {5 ~ \ rho _ {s))} \ derecha)

donde es el esfuerzo crítico para la falla por tensión o compresión, es la densidad de la espuma y es la densidad del material base (del que se deriva la espuma). ${\ estilo de visualización \ sigma _ {y}}$ $\rho$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {s}}$

Expresiones para el modelo isotrópico de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager también se puede utilizar en una formulación alternativa:

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Criterio de fuerza de Deshpande-Fleck

El criterio de resistencia de Deshpande-Fleck [5] para espumas tiene la forma de la ecuación anterior. Parámetros para la prueba de Deshpand-Vleck $a B C$

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2} {3}}

donde es un parámetro [6] que determina la forma de la superficie de fluencia y es la resistencia última a la tracción oa la compresión. $\beta$ $\sigma_y$

Criterio de fuerza anisotrópica de Drucker-Prager

La forma anisotrópica del criterio de resistencia de Drucker-Prager coincide con el criterio de resistencia de Liu-Huang-Stout [7] . Este criterio de resistencia se expresa en el criterio de rendimiento generalizado de Hill :

{\begin{alineado}f:=&{\sqrt {F(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}+G(\sigma_{33}-\sigma _ {11})^{2}+H(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+2L\sigma_{23}^{2}+2M\sigma_{31}^ {2}+2N\sigma_{12}^{2}}}\\&+I\sigma_{11}+J\sigma_{22}+K\sigma_{33}-1\leq 0\ fin{alineado}}

Los coeficientes son: ${\ estilo de visualización F, G, H, L, M, N, I, J, K}$

{\begin{alineado}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _ {1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2} -\Sigma _{2}^{2}\derecha]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\izquierda[\Sigma_{1}^{2}+\Sigma_{2} ^{2}-\Sigma_{3}^{2}\derecha]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma_{23}^{y})^{2}}}~ ;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma_{ 12}^{y})^{2))}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t)){2\sigma _{1c}\sigma _{1t} }}~;~~J={\cfrac {\sigma_{2c}-\sigma_{2t}}{2\sigma_{2c}\sigma_{2t}}}~;~~K={\ cfrac {\sigma_{3c}-\sigma_{3t}}{2\sigma_{3c}\sigma_{3t}}}\end{alineado}}

dónde

\Sigma_{1}:={\cfrac {\sigma_{1c}+\sigma_{1t}}{2\sigma_{1c}\sigma_{1t}}}~;~~\ Sigma_{2}:={\cfrac {\sigma_{2c}+\sigma_{2t}}{2\sigma_{2c}\sigma_{2t}}}~;~~\Sigma_{3 }:={\cfrac {\sigma_{3c}+\sigma_{3t}}{2\sigma_{3c}\sigma_{3t}}}

y resistencias a la compresión uniaxiales en las tres direcciones principales de anisotropía, resistencias a la tracción uniaxiales y resistencias al corte puro. Se asumió anteriormente que los valores son positivos y negativos. ${\ estilo de visualización \ sigma _ {ic}, i = 1,2,3}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {it}, i = 1,2,3}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {23} ^ {y}, \ sigma _ {31} ^ {y}, \ sigma _ {12} ^ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {1c}, \ sigma _ {2c}, \ sigma _ {3c}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {1t}, \ sigma _ {2t}, \ sigma _ {3t}}$

Criterio de rotación de Drucker

El criterio de Drucker-Prager no debe entrar en conflicto con el criterio anterior de Drucker [8], que es independiente de la carga ( ). El criterio de Drucker tiene la entrada $yo_1$

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

donde es el segundo invariante del desviador del tensor de esfuerzos, es el tercer invariante del desviador del tensor de esfuerzos, es una constante entre −27/8 y 9/4 (para que la superficie de fluencia sea convexa), es una constante que varía dependiendo de . Para , , donde es el criterio de resistencia para tensión uniaxial. $J_{2}$ $J 3}$ $\alfa$ $k$ $\alfa$ $\alpha=0$ $k^{2}={\cfrac {\sigma_{y}^{6}}{27}}$ $\sigma_y$

Criterio anisotrópico de Drucker

La versión anisotrópica del criterio de rendimiento de Drucker es el criterio de rendimiento de Kazaku-Barlat [9] , que tiene la forma

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

donde están las formas generalizadas del desviador del tensor de tensión definidas como: ${\ estilo de visualización J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$

{\begin{alineado}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma_{22}-\sigma_{33 })^{2}+a_{2}(\sigma_{33}-\sigma_{11})^{2}+a_{3}(\sigma_{11}-\sigma_{22}) ^{2}\right]+a_{4}\sigma_{23}^{2}+a_{5}\sigma_{31}^{2}+a_{6}\sigma_{12}^{ 2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+ (b_{3}+b_{4})\sigma_{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\} \sigma_{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma_{22}+b_{2}\sigma_{ 33})\sigma_{11}^{2}+(b_{3}\sigma_{33}+b_{4}\sigma_{11})\sigma_{22}^{2}+\{ (b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma_{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma_{22}\}\sigma_ {33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _ {33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\ sigma_{22}-b_{8}\sigma_{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma_{11}\}\sigma_{31}^{2}+\{2b_ {10}\sigma_{33}-b_{5}\sigma_{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma_{11}\}\sigma_{12}^{2} \right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{2  2}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\derecha]\end{alineado}}

El criterio de fluencia de Kazaku-Barlat para un estado tensional plano

Para placas de metal delgadas, las tensiones se pueden considerar como en el caso de un estado de tensión plano . En este caso, el criterio de rendimiento de Cazacou-Barlat se reduce a su versión bidimensional:

{\begin{alineado}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma_{11}^ {2}+(a_{1}+a_{3})\sigma_{22}^{2}-2a_{3}\sigma_{1}\sigma_{2}\right]+a_{6} \sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma_{ 11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\derecha]-{\cfrac {1}{9}}\izquierda[b_{1}\ sigma_{11}+b_{4}\sigma_{22}\derecha]\sigma_{11}\sigma_{22}+{\cfrac {1}{3}}\izquierda[b_{5}\ sigma_{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma_{11}\right]\sigma_{12}^{2}\end{alineado}}

Para chapas finas de metal y aleaciones, los parámetros del criterio de fluencia de Kazaku-Barlat se encuentran en las tablas correspondientes

Tabla 1. Parámetros del criterio de fluencia de Kazaku-Barlat para metales y aleaciones

Material	$un_{1}$	$un_{2}$	$un_{3}$	${\ estilo de visualización a_ {6}}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	${\ estilo de visualización b_ {5}}$	${\ estilo de visualización b_ {10}}$	$\alfa$
Aleación de aluminio 6016-T4	0.815	0.815	0.334	0.42	0.04	-1.205	-0.958	0.306	0.153	-0.02	1.4
aleación de aluminio 2090-T3	1.05	0.823	0.586	0.96	1.44	0.061	-1.302	-0.281	-0.375	0.445	1.285

Notas

↑ Drucker, DC y Prager, W. (1952). Mecánica de suelos y análisis plástico para el diseño de límites . Trimestral de Matemáticas Aplicadas, vol. 10, núm. 2, págs. 157-165.
↑ Pisarenko G.S., Mozharovsky N.S. Ecuaciones y problemas de valor límite de la teoría de la plasticidad y la fluencia. Manual de referencia. - Kyiv: Nauk. Dumka, 1981. - S. 36. - 496 p.
↑ Abrate, S. (2008). Criterios de fluencia o falla de los materiales celulares . Revista de estructuras y materiales sándwich, vol. 10.pp. 5-51.
↑ Gibson, LJ, Ashby, MF, Zhang, J. y Triantafilliou, TC (1989). Superficies de falla para materiales celulares bajo cargas multiaxiales. I. Modelado . Revista Internacional de Ciencias Mecánicas, vol. 31, núm. 9, págs. 635-665.
↑ VS Deshpande y Fleck, NA (2001). Comportamiento de fluencia multiaxial de espumas poliméricas. Acta Materialia, vol. 49, núm. 10, págs. 1859-1866.
↑ , donde está el valor usado por Deshpande y Fleck ${\ estilo de visualización \ beta = \ alfa / 3}$ $\alfa$
↑ Liu, C., Huang, Y. y Stout, MG (1997). Sobre la superficie de fluencia asimétrica de materiales plásticamente ortotrópicos: un estudio fenomenológico. Acta Materialia, vol. 45, núm. 6, págs. 2397-2406
↑ Drucker, DC (1949) Relaciones de experimentos con teorías matemáticas de plasticidad , Journal of Applied Mechanics, vol. 16, págs. 349-357.
↑ Cazacu, O. y Barlat, F. (2001). Generalización del criterio de fluencia de Drucker a la ortotropía. Matemáticas y Mecánica de Sólidos, vol. 6, núm. 6, págs. 613-630.