Criterio de estabilidad de Hurwitz

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El criterio de estabilidad de Hurwitz es una de las formas de analizar un sistema dinámico estacionario lineal para la estabilidad , desarrollado por el matemático alemán Adolf Hurwitz . Junto con el criterio de Routh , es un representante de la familia de criterios de estabilidad algebraica, en contraste con los criterios de frecuencia, como el criterio de estabilidad de Nyquist-Mikhailov . La ventaja del método es su simplicidad fundamental, la desventaja es la necesidad de realizar la operación de cálculo del determinante, que está asociada con ciertas sutilezas computacionales (por ejemplo, para matrices grandes, puede aparecer un error computacional significativo).

Redacción

El método trabaja con los coeficientes de la ecuación característica del sistema. Sea la función de transferencia del sistema y sea la ecuación característica del sistema. Representamos el polinomio característico en la forma $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ ${\ estilo de visualización \ U (s) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ U (s)}$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

donde es un argumento complejo. $s$

A partir de los coeficientes de la ecuación característica , se construye el determinante de Hurwitz según el algoritmo : $\Delta$

a lo largo de la diagonal principal, de izquierda a derecha, se establecen todos los coeficientes de la ecuación característica de a ; ${\ estilo de visualización \ a_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ a_ {n}}$
de cada elemento de la diagonal hacia arriba y hacia abajo, se completan columnas del determinante para que los índices disminuyan de arriba hacia abajo;
los ceros se colocan en lugar de coeficientes con índices menores que cero o mayores . $\norte$

La dimensión de la matriz de Hurwitz está determinada por la potencia máxima en s en la ecuación característica (es decir, n ).

O explícitamente [1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{ 1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatriz}}$

Entonces según el criterio de Hurwitz :

Para que el sistema dinámico sea estable, es necesario y suficiente que todas las diagonales principales menores del determinante de Hurwitz sean positivas, siempre que . Estos menores se denominan determinantes de Hurwitz. $\norte$ $a_{0}>0$

(Un ejemplo del determinante de Hurwitz para la ecuación característica de quinto grado).

Tenemos una ecuación característica de quinto grado: . Los determinantes de Hurwitz se verán como: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_ {4}s+a_{5}$

$\Delta_{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatriz}}$ , , , y . Para la estabilidad de un sistema dinámico, es necesario y suficiente que los cinco determinantes sean positivos. $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatriz}}$ $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{ 3}\end{vmatriz}}$ $\Delta _{2}={\begin{vmatriz}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatriz}}$ $\Delta _{1}={\begin{vmatriz}a_{1}\end{vmatriz}}$

Analizando la condición del criterio de Hurwitz, se puede notar su redundancia. El número de desigualdades se puede reducir a la mitad utilizando el teorema de Liénard-Schipar . Sin embargo, en términos computacionales, la complejidad del criterio no disminuye significativamente, ya que al calcular un menor de orden superior, en la mayoría de los casos es necesario calcular menores de orden inferior.

Ventajas y desventajas

La desventaja del criterio de Hurwitz es su baja visibilidad. Ventaja: conveniente para la implementación en una computadora. A menudo se usa para determinar la influencia de uno de los parámetros ACS en su estabilidad. Entonces, la igualdad del determinante principal a cero indica que el sistema está en el límite de la estabilidad. En este caso, ya sea , bajo las otras condiciones, el sistema está en el límite de la estabilidad aperiódica, o el penúltimo menor , si todos los demás menores son positivos, el sistema está en el límite de la estabilidad oscilatoria. Los parámetros de la ACS determinan los valores de los coeficientes de la ecuación de la dinámica, por lo tanto, un cambio en cualquier parámetro afecta el valor del determinante . Al examinar esta influencia, uno puede encontrar en qué valor el determinante se vuelve igual a cero y luego negativo. Este será el valor límite del parámetro en estudio, después del cual el sistema se vuelve inestable. ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n} = \ Delta _ {n-1} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n-1} = 0}$ $K_{yo}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n-1}}$ $K_{yo}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n-1}}$

Sobre el tema de la automatización del método

El método de Hurwitz es bastante conveniente para determinar la estabilidad de los enlaces usando una computadora. En este caso, sin embargo, debe tenerse en cuenta que la aplicación del criterio para sistemas de orden superior a 5 puede dar lugar a errores importantes, ya que el cálculo de determinantes de orden superior es una operación bastante complicada y conduce a la acumulación de errores de cálculo.

A continuación se muestra un ejemplo de automatización del trabajo del método utilizando uno de los lenguajes más comunes para cálculos técnicos MATLAB versión 5.3 con su sintaxis.

La siguiente función realiza todos los cálculos necesarios. Para que funcione, debe colocarse en un archivo de texto con extensión .m y un nombre que coincida con el nombre de la función en sí, en este caso, el nombre del archivo debe ser raus_gur.m .

función [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur ( D ) % Determinación de la estabilidad del sistema por el método de Routh-Hurwitz, dado en % de ayuda de la siguiente función de transferencia. % %B(s) % W(s) = ----, %D(s) % % Aquí D(s) es un polinomio característico. % % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - coeficientes del polinomio D. % % % La llamada a la función RAUS_GUR se puede realizar de dos formas: % % Método 1. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D); % % Parámetros de entrada: %D - vector de coeficientes del denominador (polinomio característico) % % parámetros de salida: %ust: un valor de cadena que indica si el sistema es estable o inestable % % Mnrs - vector de valores menores de menor a mayor, % que debe calcularse para evaluar la estabilidad por el método de Routh-Hurwitz. % Según el método de Routh-Hurwitz, el sistema es estable si todos los menores son positivos. % Los cálculos del valor del menor exterior no tienen sentido, ya que su signo % siempre coincidirá con el signo del menor anterior. % % Mtrx es la matriz de Routh-Hurwitz completa para el polinomio dado. % % Método 2. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W); % % Parámetros de entrada: %W: objeto de clase LTI (consulte la descripción de la caja de herramientas del sistema de control) % % Los parámetros de salida son los mismos que los anteriores. % % % Centrado en trabajar en la versión 2022a de MATLAB si es un ( D , 'tf' ) [ ~ , D ]= tfdata ( D , 'v' ); final n = longitud ( D ) - 2 ; Dr =[ D ceros ( 1 , n )]; A = flipud ( remodelar ( Dr , 2 ,[])); Mtrx = cell2mat ( arrayfun (@( x )( circshift ( A ' , x )) ' ,( 0 : n / 2 ) ' , "UniformOutput" , false )); Mnrs = cell2mat ( arrayfun (@( x ) det ( Mtrx ( 1 : x , 1 : x )),( 2 : n ) ' , "UniformOutput" , false )); Z = '' ; si hay ( Mnrs < 0 ) Z = 'no' ; final Ust =[ 'sistema' , Z , 'estable' ]; final

Ejemplo

Sea la función de transferencia dada:

$\operatorname {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}} +16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Entonces la llamada a la función anterior se vería así:

formato cortoG

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
Y el resultado del cálculo:
A =

'el sistema es estable'

1260

2.4696e+05

6.3504e+07

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A informa que el sistema es estable.

El vector B contiene valores de determinantes diagonales desde 2x2 hasta 4x4, el primer elemento no tiene valor, y el valor del determinante exterior siempre tendrá el mismo signo que el anterior. Según el método de Hurwitz, para que el sistema sea estable, todos estos determinantes deben ser positivos.

La matriz C es el propio determinante de Hurwitz.

Esta función se puede utilizar en paquetes matemáticos que tienen una sintaxis similar a MATLAB o después de una ligera alteración.

El sistema está en el borde de la estabilidad aperiódica si . El sistema está en el límite de la estabilidad oscilatoria si el determinante de Hurwitz con índice (n-1) es igual a 0. ${\ estilo de visualización a_ {n} = 0}$

Véase también

Notas

↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5ª ed. - M. : Fizmatlit, 2010. - S. 463. - 560 p. - ISBN 978-5-9221-0524-8 .

Literatura

Chetaev N. G. Estabilidad del movimiento. - M: Nauka, 1965. - 234 p.