Criterio de estabilidad de ruta

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El criterio de estabilidad de Routh es uno de los métodos para analizar la estabilidad de un sistema dinámico estacionario lineal . Junto con el criterio de Hurwitz (que a menudo se denomina criterio de Routh-Hurwitz ), es un miembro de la familia de criterios de estabilidad algebraica (a diferencia de los criterios de frecuencia , como el criterio de estabilidad de Nyquist-Mikhailov ). Propuesto por E.J. Rous en 1875 [1]

A pesar de que el criterio de Routh se propuso históricamente antes que el criterio de Hurwitz , puede usarse como un esquema más conveniente para calcular los determinantes de Hurwitz , especialmente con grados grandes del polinomio característico [2] .

Las ventajas del método incluyen una implementación simple en una computadora usando un algoritmo recursivo, así como la facilidad de análisis para sistemas de orden pequeño (hasta 3). Las desventajas incluyen la falta de visibilidad del método: al usarlo, es difícil obtener información sobre el grado de estabilidad, sobre sus reservas .

Redacción

El método trabaja con los coeficientes de la ecuación característica del sistema. Sea la función de transferencia del sistema y sea la ecuación característica del sistema. Representamos el polinomio característico en la forma $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ ${\ estilo de visualización \ U (s) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ U (s)}$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

El criterio de Routh es un algoritmo , según el cual se compila una tabla especial, en la que los coeficientes del polinomio característico se escriben de tal manera que:

la primera línea contiene los coeficientes de la ecuación con índices pares en orden ascendente;
en la segunda línea - con impar;
los elementos restantes de la tabla están determinados por la fórmula: , donde es el número de fila, es el número de columna; ${\displaystyle \c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1))$ $r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$ ${\ estilo de visualización \ k}$
el número de filas en la tabla de Routh es uno mayor que el orden de la ecuación característica.

Mesa de ruta:

${\ estilo de visualización \ ri}$	$\Downarrow i\Longrightarrow k$	una	2	3	cuatro
-	una	${\ estilo de visualización \ c_ {1,1} = a_ {0))$	${\ estilo de visualización \ c_ {2,1} = a_ {2}}$	${\ estilo de visualización \ c_ {3,1} = a_ {4}}$	...
-	2	${\ estilo de visualización \ c_ {1,2} = a_ {1}}$	${\ estilo de visualización \ c_ {2,2} = a_ {3}}$	${\ estilo de visualización \ c_ {3,2} = a_ {5}}$	...
$r_{3}={\frac{c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}$	${\displaystyle c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2))$	...
$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	cuatro	${\displaystyle c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3))$	${\displaystyle c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3))$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Formulación del criterio de Routh:

Para la estabilidad de un sistema estacionario lineal , es necesario y suficiente que los coeficientes de la primera columna de la tabla de Routh tengan el mismo signo. Si este no es el caso, entonces el sistema es inestable. ${\ estilo de visualización \ c_ {1,1}, c_ {1,2}, c_ {1,3},...}$

Véase también

Notas

↑ Postnikov, 1981 , pág. 15-16.
↑ Chernetsky, 1996 , pág. 264-267.

Literatura

Postnikov M. M. Polinomios estables. - M. : Nauka, 1981. - 176 p.
Chernetsky VI Modelado matemático de sistemas dinámicos. - Petrozavodsk: estado de Petrozavodsk. un-t, 1996. - 432 p. — ISBN 5-230-08981-4 . .