Función lineal por partes

Una función lineal por tramos es una función definida sobre el conjunto de números reales , lineal sobre cada uno de los intervalos que componen el dominio de definición .

Definición formal y asignación

Sean dados — puntos de cambio de fórmulas. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Como todas las funciones definidas por partes , una función lineal por partes generalmente se especifica en cada uno de los intervalos mediante una fórmula separada. Escríbelo en la forma: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$ $f(x)={\begin{casos}k_{0}x+b_{0},\quad x<x_{1}\\k_{1}x+b_{1},\quad x_{1}< x<x_{2}\\\cdots \\k_{n}x+b_{n},\quad x_{n}<x\end{casos}}$

Si, además, se cumplen las condiciones de casación

k_{i}x_{i}+b_{i}=k_{{i+1}}x_{i}+b_{{i+1}}=f(x_{i})

en ,

i=1,2,\ldots,n-1

entonces la función lineal por tramos será continua . Una función lineal continua por partes también se denomina spline lineal .

Misión alternativa

Se puede demostrar que cualquier función lineal continua por partes se puede definir mediante alguna fórmula de la forma

f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+\ldots +c_{n}|x-x_{n}|

En este caso, todos los coeficientes, excepto b , se pueden expresar en función de los coeficientes de pendiente de las rectas a intervalos separados:

c_{i}={\frac{k_{i}-k_{{i-1}}}{2}}

, a

i=1,2,\ldots,n

a={\frac{k_{0}+k_{n}}{2}}

Propiedades

Cualquier función continua se puede aproximar arbitrariamente a una función lineal por partes (en una métrica continua).

Un ejemplo de una función lineal por partes

La gráfica de la función en la figura se da analíticamente como:

f(x)={\begin{casos}-x-3&{\text{si}}\ x\leq -3\\x+3&{\text{si}}\ -3<x<0 \\-2x+3&{\text{si}}\ 0\leq x<3\\0.5x-4&{\text{si}}\ x\geq 3\end{casos}}

Fuentes

Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 272-274. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .
Función lineal por partes // Diccionario económico y matemático: Diccionario de ciencia económica moderna. - M.: Negocios. L. I. Lopatnikov. 2003.

Enlaces

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