La matriz de covarianza (o matriz de covarianza ) en la teoría de la probabilidad es una matriz compuesta de covarianzas por pares de elementos de uno o dos vectores aleatorios .
La matriz de covarianza de un vector aleatorio es una matriz definida no negativa simétrica cuadrada, en cuya diagonal se ubican las varianzas de los componentes del vector, y los elementos fuera de la diagonal son las covarianzas entre los componentes.
La matriz de covarianza de un vector aleatorio es un análogo multivariante de la varianza de una variable aleatoria para vectores aleatorios. La matriz de covarianza de dos vectores aleatorios es un análogo multidimensional de la covarianza entre dos variables aleatorias.
En el caso de un vector aleatorio normalmente distribuido, la matriz de covarianza, junto con la expectativa matemática de este vector, determina completamente su distribución (por analogía con el hecho de que la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria normalmente distribuida determinan completamente su distribución)
eso es
,dónde
, - esperanza matemática .donde es una matriz arbitraria de tamaño , y .
La matriz de covarianza de un vector aleatorio es una característica de su distribución. En el caso de una distribución normal (multivariante), la media de un vector y su matriz de covarianza determinan completamente su distribución. Las características de la distribución condicional de un vector aleatorio dado el valor de otro vector aleatorio son la expectativa condicional ( función de regresión ) y la matriz de covarianza condicional, respectivamente.
Sean vectores aleatorios y tengan una distribución normal conjunta con expectativas matemáticas , matrices de covarianza y matriz de covarianza . Esto significa que el vector aleatorio combinado sigue una distribución normal multivariante con un vector de expectativa y una matriz de covarianza que se puede representar como la siguiente matriz de bloques
dónde
Entonces el vector aleatorio para un valor dado del vector aleatorio tiene una distribución normal (condicional) con la siguiente expectativa condicional y matriz de covarianza condicional
La primera igualdad define la función de regresión lineal (la dependencia de la expectativa condicional del vector sobre el valor dado x del vector aleatorio ), y la matriz es la matriz de coeficientes de regresión.
La matriz de covarianza condicional es la matriz de covarianza de error aleatorio de regresiones lineales de los componentes de vector por vector .
En el caso de que sea una variable aleatoria ordinaria (un vector de un componente), la matriz de covarianza condicional es la varianza condicional (esencialmente, el error aleatorio de la regresión en el vector )