Matriz de permutación

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Una matriz de permutación (o permutación ) es una matriz binaria cuadrada , en cada fila y columna de la cual hay exactamente un elemento de identidad. Cada matriz de permutación de tamaño es una representación matricial de una permutación de los elementos. $n\veces n$ $norte$

Definición

Sea dada una permutación de elementos: $\sigma$ $norte$

{\begin{pmatrix}1&&2&&\ldots &&n\\\sigma (1)&&\sigma (2)&&\ldots &&\sigma (n)\end{pmatrix))

La matriz de permutación correspondiente es una matriz de la forma: $n\veces n$

P_{\sigma}={\begin{pmatrix}{\mathbf {e}}_{{\sigma (1)}}\\{\mathbf {e}}_{{\sigma (2)))\\ \vdots \\{\mathbf {e}}_{{\sigma (n)}}\end{pmatrix}},

donde es un vector de dimensión , cuyo enésimo elemento es igual a 1, y los demás son iguales a cero. ${\mathbf {e}}_{{i}}$ $norte$ $i$

Ejemplo

Permutación:

\pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmatrix}}

Matriz correspondiente:

P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&&0\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmatrix}}

Propiedades

Para dos permutaciones cualesquiera, sus matrices tienen la propiedad: $\sigma,\pi$ $P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }.$
Las matrices de permutación son ortogonales , por lo que para cada matriz existe una inversa: $P_{\sigma}^{-1}=P_{\sigma}^{T}.$
Multiplicar una matriz arbitraria por una matriz de permutación intercambia sus columnas en consecuencia. $METRO$
Multiplicar una matriz de permutación por una arbitraria intercambia filas en . $METRO$ $METRO$
El determinante de una matriz de permutación es igual a la paridad de la permutación. El determinante de una permutación par es 1, el determinante de una permutación impar es -1.