Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada con elementos reales , cuyo resultado de la multiplicación por la matriz traspuesta es igual a la matriz identidad [1] : $A$ $A^{T}$

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

o, de manera equivalente, su matriz inversa (que necesariamente existe) es igual a la matriz transpuesta:

{\ estilo de visualización A^{-1}=A^{T}.}

El análogo complejo de una matriz ortogonal es la matriz unitaria .

Una matriz ortogonal con un determinante se llama ortogonal especial . $+1$

Propiedades

Una matriz ortogonal es unitaria ( ) y por lo tanto normal ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Las columnas y filas de una matriz ortogonal forman sistemas de vectores ortonormales , es decir:

{\displaystyle \sum_{i}A_{ij}A_{ik}=\delta_{jk))

{\displaystyle \sum_{i}A_{ji}A_{ki}=\delta_{jk))

donde , es el orden de la matriz y es el símbolo de Kronecker .

i\en \{1,\;\ldots,\;n\}

norte

\delta _{{jk}}

En otras palabras, el producto escalar de una fila consigo misma es 1 y con cualquier otra fila es 0. Lo mismo es cierto para las columnas.

El determinante de una matriz ortogonal es , que se sigue de las propiedades de los determinantes: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
El conjunto de matrices de orden ortogonal sobre el campo forma un grupo de multiplicación , el llamado grupo ortogonal que se denota por o (si se omite, se supone que es ). $norte$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\matemáticas{R}$
El operador lineal , dado por una matriz ortogonal, asigna una base ortonormal de un espacio lineal a uno ortonormal.
La matriz de rotación es ortogonal especial. La matriz de reflexión es ortogonal.
Cualquier matriz ortogonal real es similar a una matriz diagonal de bloques con bloques de la forma

(\pm1)

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - un ejemplo de una matriz de rotación

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - un ejemplo de una matriz de permutación

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma)+\sin(\alpha)\cos(\gamma)&\cos(\alpha)\cos(\beta)&\cos(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ es la matriz de rotación expresada en términos de los ángulos de Euler

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Álgebra lineal. - 4ª ed. - M: Nauka, 1999. - Pág. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .