Método de Jacobi para valores propios

El método de Jacobi para valores propios es un algoritmo iterativo para calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz simétrica real . Nombrado en honor a Carl Gustav Jacob Jacobi , quien propuso este método en 1846 [1] , aunque el método solo comenzó a usarse en la década de 1950 con la llegada de las computadoras [2] .

Descripción

Sea una matriz simétrica y sea una matriz de rotación . Después $A$ $G=G(i,j,\theta)$

A'=G^{\top }AG

es simétrico y similar a una matriz . $A$

Además, contiene los siguientes componentes: $A'$

{\begin{alineado}A'_{ii}&=c^{2}\,A_{ii}-2\,sc\,A_{ij}+s^{2}\,A_{jj }\\A'_{jj}&=s^{2}\,A_{ii}+2sc\,A_{ij}+c^{2}\,A_{jj}\\A'_{ij} &=A'_{ji}=(c^{2}-s^{2})\,A_{ij}+sc\,(A_{ii}-A_{jj})\\A'_{ik }&=A'_{ki}=c\,A_{ik}-s\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{jk}&=A'_{kj}=s\ ,A_{ik}+c\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{kl}&=A_{kl}&k,l\neq i,j\end{alineado}}

donde y . $s=\sin \theta$ $c=\cos \theta$

Como es una matriz ortogonal, las matrices y tienen las mismas normas de Frobenius (raíces de las sumas de los cuadrados de todos los componentes), y podemos optar por que , y en este caso tenga una mayor suma de los cuadrados de los elementos diagonales: $GRAMO$ $A$ $A'$ ${\ estilo de visualización ||\ cdot ||_{F}}$ $\ theta$ $A'_{ij}=0$ $A'$

A'_{ij}=\cos(2\theta )A_{ij}+{\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )(A_{ii}-A_{jj})

Igualando esto a cero, obtenemos

\operatorname {tg} (2\theta )={\frac {2A_{ij}}{A_{jj}-A_{ii}}}

si , entonces ${\displaystyle A_{jj}=A_{ii))$

\theta ={\frac {\pi}{4)).

Para lograr el efecto óptimo, es necesario exigir que sea el elemento fuera de la diagonal más grande en valor absoluto, el llamado. elemento básico . $A_{{ij}}$

El método de Jacobi para autovalores rota hasta que la matriz es casi diagonal. Entonces los elementos de la diagonal aproximan los valores propios de la matriz . $A$

Notas

↑ Jacobi, CGJ Über ein leichtes Verfahren, die in der Theorie der Säkularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen (alemán) // Crelle's Journal . - 1846. - T. 30 . - S. 51-94 .
↑ Golub, GH; van der Vorst, HA Cálculo de valores propios en el siglo XX // Journal of Computational and Applied Mathematics : diario. - 2000. - vol. 123 , núm. 1-2 . - P. 35-65 . - doi : 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 .