Método de variación lenta de amplitudes

El método de amplitudes que varían lentamente ( MMMA , a veces el método de Van der Pol ) [1] se utiliza para la solución aproximada de ecuaciones no lineales que son casi lineales y las oscilaciones son cercanas a armónicas [2] . El método se basa en la suposición de que la amplitud (envolvente) de la onda cambia lentamente en el tiempo y el espacio en comparación con el período de la onda.

El método se utiliza, por ejemplo, en radiofísica [3] , óptica no lineal [4] [5] [6] .

Ejemplo

Considere la ecuación de ondas electromagnéticas :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\parcial ^{2}E}{\parcial t^{2))}= 0,

donde k 0 y ω 0 son el vector de onda y la frecuencia angular de onda E ( r , t ), y utilice la siguiente representación:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

donde denota la parte real. ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \ Re [\ cdot]}$

En la aproximación de amplitud que varía lentamente , se supone que la amplitud compleja E 0 ( r , t ) varía lentamente con r y t . También asume que E 0 ( r , t ) representa una onda que se propaga hacia adelante en la dirección k 0 . Como resultado del cambio lento en E 0 ( r , t ), las derivadas de alto orden pueden despreciarse: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

y ,

\displaystyle \left|{\frac {\parcial ^{2}E_{0}}{\parcial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\parcial E_{0}}{\parcial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

Después de aplicar la aproximación y poner a cero las derivadas superiores, la ecuación de onda se escribirá como:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\parcial E_{0}}{\parcial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Teniendo en cuenta que k 0 y ω 0 satisfacen la relación de dispersión :

k_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}\,\mu_{0}\,\varepsilon_{0}=0.\,

obtenemos:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ parcial E_{0}}{\parcial t}}=0.

Esta es una ecuación hiperbólica , como la ecuación de onda original, pero ahora de primer orden en lugar de segundo. Es cierto para ondas coherentes que se propagan en direcciones cercanas a k 0 . A menudo, una ecuación de este tipo es mucho más fácil de resolver que la original.

Aproximación parabólica

Considere la propagación a lo largo de la dirección z , es decir, k 0 || z .Entonces el método se aplica solo a las derivadas con respecto a la coordenada z y con respecto al tiempo. Si es el operador de Laplace en el plano x - y , obtenemos como resultado: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\parcial ^{2}/\parcial x^{2}+\parcial ^{2}/\parcial y^{2))$

k_{0}{\frac {\parcial E_{0}}{\parcial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\parcial E_{0}}{\parcial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Esta es una ecuación parabólica , por lo que la aproximación también se llama aproximación parabólica [8] .

Véase también

Enlaces

↑ Balth. van der pol junio. D.C. (1927) VIII. Oscilaciones forzadas en un circuito con resistencia no lineal. (Recepción con triodo reactivo), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov AA, Gorelik G S, Rytov S M "Algunas investigaciones en el campo de las oscilaciones no lineales realizadas en la URSS desde 1935" 33 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. Teoría de circuitos eléctricos no lineales: Libro de texto para universidades. - M.: Radio y comunicación, 1982. - 280 p.
↑ Arecchi, FT & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169-178 (1965).
↑ Sizmin D.V. "Óptica no lineal", Sarov: SarFTI, 2015. - 147 p.
↑ RW Boyd (2008). Óptica no lineal (Tercera ed.). Orlando: Prensa Académica.
↑ Butcher, Paul N. Los elementos de la óptica no lineal / Paul N. Butcher, David Cotter. — Reimpresión. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1991. - Pág. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. Autoenfoque, autoatrapamiento y automodulación de fase de rayos láser // Progreso en óptica . - Holanda Septentrional , 1974. - Vol. 12. - Pág. 23-25. - ISBN 0-444-10571-9 .