Ecuaciones hiperbólicas

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Las ecuaciones hiperbólicas son una clase de ecuaciones diferenciales parciales . Se caracterizan por el hecho de que el problema de Cauchy con datos iniciales dados en una superficie no característica tiene una solución única.

Ecuaciones de segundo orden

Considere la forma general de una ecuación diferencial parcial escalar de segundo orden con respecto a la función : $u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x_ {i}\parcial x_{j}}}+\sum_{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\parcial u}{\parcial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

En este caso, la ecuación se escribe en forma simétrica, es decir: . Entonces la ecuación equivalente en forma de forma cuadrática : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots,x_{n})

donde _ La matriz se llama matriz de coeficientes principales . Si la firma de la forma resultante es , es decir, la matriz tiene autovalores positivos y uno negativo (o viceversa: negativo, uno positivo), entonces la ecuación se refiere al tipo hiperbólico [1] . $A=A^{T}$
$A$
$(n-1.1)$ $A$ $n-1$ $n-1$

Otra definición equivalente: una ecuación se llama hiperbólica si se puede representar como:

Lu-a^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots,x_{{n-1}},t )

donde: es un operador elíptico definido positivo , . $L$ $un \ neq 0$

Ecuaciones de primer orden en el plano

ecuación tipo

u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)

donde , , son matrices cuadradas y son incógnitas. Son hiperbólicos si la matriz tiene diferentes valores propios reales para todos los parámetros. [2] $x\en \mathbb {R}$ $t\en \mathbb {R}$ ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n))$ ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $A$

Solución de ecuaciones hiperbólicas

Para encontrar una solución única, se complementa la ecuación con condiciones iniciales y de contorno , dado que la ecuación es de segundo orden en el tiempo, existen dos condiciones iniciales: para la propia función y para su derivada.

Para la solución analítica de ecuaciones en un dominio infinito se utiliza la fórmula de Kirchhoff , que en el caso unidimensional se representa como la fórmula de d'Alembert, y en el caso bidimensional como la fórmula de Poisson-Parseval.
Para una solución analítica en una región finita, se puede utilizar el método de separación de variables de Fourier y sus modificaciones para resolver ecuaciones no homogéneas.
Para una solución numérica, el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas , su combinación (en el tiempo se resuelven por diferencias finitas, en el espacio - por elementos finitos) [3] , así como otros métodos numéricos adecuados para la tarea, son usó.

Ejemplos de ecuaciones hiperbólicas

La ecuación de onda es una ecuación que describe las vibraciones de cuerdas , membranas , etc.
Varias ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Maxwell que describen el campo electromagnético . Esto puede ser un ajuste con respecto a uno de los vectores , considerando que solo uno de los componentes del vector es distinto de cero (es decir, cuando la ecuación se vuelve escalar). ${\mathbf {A},{\mathbf {E}),{\mathbf {B}),{\mathbf {D},{\mathbf {H))$
La red de Chebyshev es una solución a una ecuación hiperbólica lineal de primer grado.

Véase también

Literatura

Ecuación de tipo hiperbólico // Diccionario enciclopédico matemático. Editor en jefe Yu. V. Prokhorov. - M .: "Enciclopedia soviética". — 1988.
Leray J. Ecuaciones diferenciales hiperbólicas. - M. , Nauka , 1984. - 208 p.

Notas

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Ecuaciones de Física Matemática (5ª ed.) - Moscú: Nauka, 1977.
↑ Bressan, A. Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación. - Prensa de la Universidad de Oxford. — ISBN 0-19-850700-3 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak ME , Persova M.G. Método de elementos finitos para problemas escalares y vectoriales. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
Mecánica cuántica	Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon
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Métodos de solución

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

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Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

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