Métrica de espacio-tiempo

La métrica del espacio-tiempo es el tensor 4 , que define las propiedades del espacio-tiempo en la relatividad general .

Típicamente indicado por el símbolo . $g_{{ij}}$

En el marco de referencia inercial , la matriz del tensor espacio-tiempo métrico tiene la forma

{\sombrero {g}}=\left({\begin{matriz}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matriz}}\right)

En los sistemas de referencia no inerciales , la forma de la métrica del espacio-tiempo cambia y generalmente depende de un punto en el espacio y un momento en el tiempo.

La métrica del espacio-tiempo establece la curvatura del espacio , que es sentida por el observador, que se mueve con aceleración . Dado que, según el principio de equivalencia , el observador no puede distinguir de ninguna manera la no inercia del marco de referencia asociado con él del campo gravitatorio, la métrica espacio-temporal también determina la curvatura del espacio en el campo de los cuerpos masivos.

El intervalo de espacio-tiempo se expresa a través de la métrica de espacio-tiempo mediante la fórmula

{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j))

Dado que la métrica establece las transformaciones de coordenadas, también se le llama tensor métrico .

La métrica de espacio-tiempo se utiliza para establecer una conexión entre entradas covariantes y contravariantes de cualquier cuadrivector.

{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j))

Propiedades

El tensor métrico es simétrico con respecto a sus índices, es decir, . Esto se puede ver en la fórmula general para el diferencial al cuadrado del intervalo de espacio-tiempo. El determinante de la métrica del espacio-tiempo, que se denota por g, es negativo. $g_{{ij}}=g_{{ji}}$

La forma contravariante del tensor métrico se relaciona con la forma covariante por medio de un tensor de cuarto orden completamente antisimétrico

E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}

donde es el tensor totalmente antisimétrico habitual definido en el marco de referencia inercial, es decir, un tensor cuyas componentes son iguales a 1 o -1 y cambian de signo cuando se intercambian dos índices cualesquiera. $e^{{ijkl}}$

De este modo

g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}

El tensor métrico, como cualquier tensor simétrico, se puede reducir a una forma diagonal eligiendo un sistema de referencia. Sin embargo, esta operación es válida sólo hasta cierto punto del espacio-tiempo y, en general, no puede realizarse para todo el espacio-tiempo.

Tiempo propio

El cuadrado de la diferencial del intervalo de espacio-tiempo para un punto espacial es igual a

ds^{2}=g_{{00}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau^{2}

donde c es la velocidad de la luz en el vacío .

el valor

\tau ={\frac{1}{c}}\int {\sqrt {g_{{00}}}}dx^{0}

se llama tiempo propio para un punto dado en el espacio.

Intervalo espacial

El cuadrado de la distancia entre dos puntos infinitamente cercanos viene dado por

dl^{2}=\gamma_{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta }}+{\frac {g_{ {\alfa 0}}g_{{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alfa }dx^{\beta }

Los índices griegos se utilizan cuando la suma se realiza únicamente sobre coordenadas espaciales. El tensor es el tensor métrico para el espacio tridimensional. $\gamma _{{\alpha \beta ))$

Es imposible integrar la distancia así definida, ya que el resultado dependería de la línea de universo a lo largo de la cual se realizaría la integración. Así, en la teoría general de la relatividad, el concepto de distancia entre objetos distantes en el espacio tridimensional pierde su significado. La única excepción es la situación en la que el tensor métrico no depende del tiempo. $g_{{ij}}$

Véase también

Métrica isotrópica estática

Enlaces

Landau L.D. , Lifshits E.M. Física teórica. v. II. Teoría de campos . - M. : Nauka, 1974. - T. 2.
G. A. Zisman. [bse.sci-lib.com/article076056.html Métrica del espacio-tiempo Significado de la palabra "Métrica del espacio-tiempo" en la Gran Enciclopedia Soviética ] . bse.scilib.com. Consultado el 10 de junio de 2009. Archivado desde el original el 2 de abril de 2012. (indefinido)