Sophomore Dream (Identidad matemática)

En matemáticas , el sueño de un estudiante de segundo año o el sueño de un estudiante de segundo año ( ing. segundo año - un estudiante de segundo año en los EE . UU .) es un par de identidades :

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty}n^{-n))$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n^{-n }=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$

Historia

Identidades descubiertas en 1697 por Johann Bernoulli . Los valores numéricos de estas constantes son aproximadamente 1,291285997 y 0,7834305107, respectivamente.

El nombre "sueño de estudiante de segundo año" vino más tarde. Es una referencia al "sueño del estudiante de primer año", que a su vez significa la falsa identidad en broma (x + y) n = x n + y n . Sin embargo, a diferencia de él, el sueño del estudiante de segundo año es un par de identidades verdaderas [1] .

Prueba

Las pruebas de estas identidades son completamente análogas, por lo que aquí sólo se presenta una de ellas.

Primero, imaginemos : $x^{x}$

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}(\log x)^{n)) {¡norte!}}$ .

Después

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Por la propiedad de convergencia uniforme de las series de potencias , la sumatoria y la integral pueden intercambiarse. Obtenemos:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Para obtener las integrales presentadas anteriormente, reemplazamos la variable . Después de este reemplazo, los límites integrales se transforman en , lo que nos da: $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ $0<u<\infty$

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1) )}\int \limits_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du$ .

Por la identidad integral de Euler para la función Gamma :

$\int \limits _{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

de este modo:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!)}}dx=(-1)^{n} (n+1)^{-(n+1)}$ .

Resumiendo y cambiando la indexación (comienza con n=1, no con n=0), obtenemos la identidad deseada.

Versiones de pruebas

La demostración original, dada por Bernoulli [2] y presentada en su forma moderna [3] , difiere de la anterior en términos de cálculo de la integral , pero por lo demás es idéntica excepto por los detalles técnicos. En lugar de integrar por sustitución utilizando la función Gamma (que aún no se conocía en el momento de la prueba), Bernoulli utilizó la integración por partes . $\int_{0}^{1}x^{n}(\log\,x)^{n}\,dx$

Notas

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H. & Girgensohn, Roland (2004), Experimentación en Matemáticas: Caminos Computacionales al Descubrimiento , p. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, recopilado en Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, págs. 376–381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann and ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3 $x^{x}$