Colector de Giesecking

La variedad de Gieseking es una variedad hiperbólica  tridimensional del volumen más pequeño.

Edificio

Se puede construir una variedad de Gieseking pegando dos pares de caras de un tetraedro hiperbólico equiángulo ideal (con ángulos diédricos ). Si numeramos los vértices 0, 1, 2, 3, entonces la cara 0,1,2 debe estar pegada a la cara 3,1,0 y la cara 0,2,3 debe estar pegada a la cara 3,2, 1; en ambos casos se debe conservar el orden de los vértices.

Propiedades

• La variedad de Gieseking tiene el volumen más pequeño entre todas las variedades hiperbólicas.
  • Su volumen es igual al volumen de un tetraedro hiperbólico ideal regular, es aproximadamente igual a 1.01494161.

• La doble cubierta de la variedad de Giesecking es homeomorfa al complemento de la figura en ocho .

• El límite de la vecindad del infinito es la botella de Klein .

• La primera homología de la variedad de Gieseking son los números enteros.

• La variedad de Giesecking folia sobre un círculo con un toro perforado como fibra; la monodromía viene dada por el mapeo .
  • El cuadrado de este mapa es el llamado mapa del gato de Arnold . Esto da otra forma de ver que la doble cubierta de la variedad de Gieseking es el complemento de una figura en ocho.

Enlaces

• Gieseking, H. (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen , Thesis, Münster , < http://name.umdl.umich.edu/ABR1814.0001.001 > 
• Adams, Colin C. (1987), The non-compact hyperbolic 3-manifold of minimal volume , Actas de la American Mathematical Society, volumen 100 (4): 601–606, ISSN 0002-9939 , DOI 10.2307/2046691