La incrustación de Segre se utiliza en geometría proyectiva para tratar el producto directo de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva . Nombrado en honor al matemático italiano Beniamino Segre [1] .
La cartografía del Segre se define como la cartografía
que envía un par ordenado de puntos a un punto cuyas coordenadas homogéneas son los productos por pares de las coordenadas homogéneas de los puntos originales (escritos en orden lexicográfico ):
La imagen de este mapeo es una variedad proyectiva denominada variedad Segre .
De acuerdo con la propiedad universal del producto tensorial , para los espacios vectoriales U y V (sobre el mismo campo k ), existe una aplicación natural de su producto cartesiano al producto tensorial :
Como regla general, este mapeo no es inyectivo porque para cualquier y distinto de cero
El mapeo induce un morfismo de proyectivizaciones de los espacios lineales correspondientes:
Este morfismo no es solo una aplicación inyectiva en el sentido de la teoría de conjuntos , también es una inmersión cerrada en el sentido de la geometría algebraica (esto significa que la imagen de una aplicación puede darse como el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones polinómicas). Esto explica las razones por las que este mapeo se llama la incrustación de Segre .
Es fácil calcular las dimensiones de los espacios correspondientes: si entonces y dado que la proyectivización reduce las dimensiones en uno, este caso corresponde al mapeo
Si denotamos las coordenadas homogéneas en la imagen de la incrustación de Segre como y las escribimos como una matriz , entonces la variedad de Segre contendrá exactamente "matrices" de rango 1, es decir, matrices en las que todos los menores de tamaño son iguales a cero. Así, la variedad de Segre se define como el conjunto de ceros comunes de ecuaciones de la forma
dóndeLas fibras de una variedad de Segre (es decir, conjuntos de la forma o por un punto fijo ) son subespacios lineales de la imagen.
En el caso n = m = 1, el mapeo de Segre es la incrustación del producto de la línea proyectiva y ella misma en un espacio proyectivo tridimensional. En coordenadas homogéneas, la imagen de este mapeo es el conjunto de soluciones de la ecuación algebraica
Así, en un espacio proyectivo complejo , una variedad de Segre es una cuádrica ordinaria sin singularidades. En un espacio proyectivo real, esta es una cuádrica de firma en coordenadas afines, corresponde a un hiperboloide de una hoja ya un paraboloide hiperbólico . Ambas cuádricas son ejemplos de superficies regladas .
La imagen de la diagonal bajo el mapeo de Segre es una variedad veronesa de grado dos: