Archivo adjunto segre

La incrustación de Segre se utiliza en geometría proyectiva para tratar el producto directo de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva . Nombrado en honor al matemático italiano Beniamino Segre [1] .

Definición

La cartografía del Segre se define como la cartografía

\sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

que envía un par ordenado de puntos a un punto cuyas coordenadas homogéneas son los productos por pares de las coordenadas homogéneas de los puntos originales (escritos en orden lexicográfico ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

La imagen de este mapeo es una variedad proyectiva denominada variedad Segre .

Descripción en el lenguaje del álgebra lineal

De acuerdo con la propiedad universal del producto tensorial , para los espacios vectoriales U y V (sobre el mismo campo k ), existe una aplicación natural de su producto cartesiano al producto tensorial :

\varphi :U\times V\to U\otimes V.\

Como regla general, este mapeo no es inyectivo porque para cualquier y distinto de cero $tu en ti$ $v\en V$ $c\en k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

El mapeo induce un morfismo de proyectivizaciones de los espacios lineales correspondientes: $\varphi$

\sigma :P(U)\veces P(V)\a P(U\oveces V).\

Este morfismo no es solo una aplicación inyectiva en el sentido de la teoría de conjuntos , también es una inmersión cerrada en el sentido de la geometría algebraica (esto significa que la imagen de una aplicación puede darse como el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones polinómicas). Esto explica las razones por las que este mapeo se llama la incrustación de Segre .

Es fácil calcular las dimensiones de los espacios correspondientes: si entonces y dado que la proyectivización reduce las dimensiones en uno, este caso corresponde al mapeo ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\times {\mathbb P}^{m}\to {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Propiedades

Si denotamos las coordenadas homogéneas en la imagen de la incrustación de Segre como y las escribimos como una matriz , entonces la variedad de Segre contendrá exactamente "matrices" de rango 1, es decir, matrices en las que todos los menores de tamaño son iguales a cero. Así, la variedad de Segre se define como el conjunto de ceros comunes de ecuaciones de la forma $z_{{ij}}$ $2\veces 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

dónde

i\neq k,j\neq l.

Las fibras de una variedad de Segre (es decir, conjuntos de la forma o por un punto fijo ) son subespacios lineales de la imagen. $\sigma (\cdot,p)$ $\sigma (p,\cdot)$ $pags$

Ejemplos

Cuádrica

En el caso n = m = 1, el mapeo de Segre es la incrustación del producto de la línea proyectiva y ella misma en un espacio proyectivo tridimensional. En coordenadas homogéneas, la imagen de este mapeo es el conjunto de soluciones de la ecuación algebraica

\det \left({\begin{matriz}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matriz}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

Así, en un espacio proyectivo complejo , una variedad de Segre es una cuádrica ordinaria sin singularidades. En un espacio proyectivo real, esta es una cuádrica de firma en coordenadas afines, corresponde a un hiperboloide de una hoja ya un paraboloide hiperbólico . Ambas cuádricas son ejemplos de superficies regladas . $(2.2),$

Variedad veronesa

La imagen de la diagonal bajo el mapeo de Segre es una variedad veronesa de grado dos: $\Delta \subconjunto P^{n}\times P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\a P^{{n^{2}+2n}}.\

Notas

↑ Incrustaciones del Segre // Enciclopedia Matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Literatura

Harris J. Geometría algebraica. Curso inicial. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Introducción a la geometría algebraica, página 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .