Variedad algebraica

Una variedad algebraica es el objeto central de estudio en geometría algebraica . La definición clásica de una variedad algebraica es el conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones algebraicas sobre números reales o complejos . Las definiciones modernas lo generalizan de varias maneras, pero trata de mantener la intuición geométrica consistente con esta definición [1] .

La definición de una variedad algebraica puede variar ligeramente entre autores: algunos autores [2] incluyen la propiedad de irreductibilidad en la definición (esto significa que una variedad no puede ser la unión de variedades más pequeñas, ver más abajo), mientras que algunos [3] distinguen entre diversidad irreductible y "general". En este artículo, nos apegaremos a la primera convención y llamaremos conjuntos de soluciones a sistemas de ecuaciones que no son conjuntos algebraicos irreducibles .

El concepto de variedad algebraica tiene cierta semejanza con el concepto de variedad suave . La diferencia es que las variedades algebraicas, a diferencia de las variedades suaves, pueden tener puntos singulares . Una vecindad de un punto no singular de una variedad algebraica real es isomorfa a una variedad suave.

Probado alrededor de 1800, el teorema fundamental del álgebra estableció una conexión entre el álgebra y la geometría , mostrando que un polinomio reducido en una variable (objeto algebraico) está determinado únicamente por sus raíces complejas, es decir, un conjunto finito de puntos en el plano complejo ( objeto geométrico). El teorema nulo de Hilbert , generalizando este resultado, estableció una correspondencia fundamental entre los ideales de anillos polinómicos y las variedades algebraicas. Usando el teorema nulo de Hilbert y los resultados relacionados, los matemáticos establecieron una correspondencia entre preguntas sobre variedades algebraicas y preguntas sobre teoría de anillos ; el uso de tales correspondencias es un sello distintivo de la geometría algebraica.

Definiciones

Hay diferentes tipos de variedades algebraicas: variedades afines, variedades proyectivas, variedades cuasi-proyectivas. Una variedad algebraica en el sentido más general se obtiene pegando varias variedades cuasi-proyectivas.

Variedades afines

Sea k un campo algebraicamente cerrado (en geometría algebraica clásica, el campo de los números complejos ); es un espacio afín n - dimensional sobre k . Hay un teorema del análisis clásico que establece que los subconjuntos cerrados son exactamente los conjuntos cero de todas las posibles funciones infinitamente diferenciables . [4] La topología de Zariski en cierto sentido extiende esta propiedad al caso de funciones polinómicas : al definir la topología de Zariski, cada conjunto de polinomios en n variables está asociado con el conjunto de puntos en el espacio afín en el que todos estos polinomios desaparecen: ${\matemáticas A}^{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Los conjuntos cerrados en la topología de Zariski son todos conjuntos de la forma Z ( S ), también estos conjuntos cerrados se denominan conjuntos algebraicos . Una variedad algebraica afín es un conjunto algebraico que no puede representarse como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños. ${\matemáticas A}^{n}$

Un subconjunto se puede asociar con un ideal que consta de polinomios iguales a cero en este subconjunto: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

En el caso de que V sea una variedad algebraica, el anillo factorial del anillo de polinomios por el ideal I ( V ) se denomina anillo de coordenadas de la variedad dada, generalmente denotado por k [ V ]. Tenga en cuenta que un conjunto algebraico V es una variedad si y solo si I ( V ) es un ideal primo (o, de manera equivalente, el anillo de coordenadas es integral ).

Variedades proyectivas y cuasi-proyectivas

Sea k un campo algebraicamente cerrado y un espacio proyectivo n - dimensional sobre k , es decir, una proyectivización . Ningún polinomio define una función en este espacio (ya que un punto tiene muchas coordenadas homogéneas diferentes), sin embargo, para un polinomio homogéneo en n + 1 variables, se pueden determinar correctamente los puntos en los que el polinomio es igual a cero (ya que las coordenadas homogéneas proporcionales corresponden a valores proporcionales del polinomio homogéneo). Así, el conjunto de polinomios homogéneos S puede asociarse con el conjunto de puntos Z ( S ) en los que todos estos polinomios son iguales a cero, esto define la topología de Zariski en el espacio proyectivo. Una variedad algebraica proyectiva es un subconjunto cerrado irreducible (en la topología de Zariski) de un espacio proyectivo . El conjunto V se puede asociar con un ideal homogéneo generado por polinomios homogéneos que se anulan en V . Un anillo de cociente por ello se llama anillo de coordenadas homogéneo . ${\mathbb P}^{n}$ ${\matemáticas A}^{{n+1}}$ ${\ matemáticas {P}}^{n}$

Una variedad cuasi-proyectiva es un subconjunto abierto de una variedad proyectiva. En particular, cualquier variedad afín es isomorfa a una cuasi-proyectiva [5] .

Variedades algebraicas abstractas

En geometría algebraica clásica, solo se consideraron variedades cuasi-proyectivas. La desventaja de esta definición es que uno tiene que fijar una cierta incrustación de una variedad en un espacio proyectivo: por ejemplo, no se puede llamar variedad a una variedad hasta que se dé su incrustación en un espacio proyectivo (para especificar tal incrustación, uno tiene utilizar la incrustación del Segre ). Además, si una variedad algebraica se puede incrustar en un espacio proyectivo, se puede incrustar en un número infinito de otros, utilizando la composición con incrustación veronesa . Está lejos de ser obvio que las propiedades de las variedades (como la propiedad de que un mapeo entre variedades sea regular) no dependan de la elección de tal incrustación. ${\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}$

El primer intento de definir una variedad algebraica de forma abstracta (es decir, sin especificar una incrustación en un espacio proyectivo) fue realizado por Weil , quien definió variedades en términos de valoraciones en Fundamentos de geometría algebraica . Claude Chevallet propuso una definición de esquema que funcionó en más situaciones. Sin embargo , la definición de esquema de Alexander Grothendieck era aún más general y fue aceptada por un gran número de matemáticos. En el lenguaje de la teoría de esquemas, una variedad algebraica suele definirse como un esquema enteramente separable de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado [6] . Algunos autores también rechazan el requisito de cierre algebraico o irreductibilidad.

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de variedades algebraicas (además, todas son curvas algebraicas ). Muchos otros ejemplos se pueden encontrar en la categoría de curvas algebraicas .

Casos especiales de variedades algebraicas

Dimensión de una variedad→ Grado de polinomio↓	0	una	2	…	k
una	Punto	Directo	Plano	…	hiperplano
2		Konika	superficie de segundo orden	…	cuádrica
3		cubo	Superficie de tercer orden	…	múltiple de tercer orden
cuatro		cuártico	Superficie de cuarto orden	…	Colector 4 órdenes
…		…	…	…	…
k		curva algebraica	superficie algebraica	…	variedad algebraica

Línea afín

Considere un polinomio del anillo ${\matemáticas C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

El conjunto de ceros de este polinomio es una línea afín en . Para probar que una línea afín es una variedad algebraica, basta con notar que el polinomio es irreducible , y el anillo k [ x , y ] es factorial (en un anillo factorial, el ideal principal generado por un polinomio irreducible es simple ). ${\matemáticas C}^{2}$ $hacha+de+c$

Cuadráticas

Todas las elipses, parábolas e hipérbolas (es decir, todas las cuádricas no degeneradas ) son subvariedades algebraicas del plano complejo. Una cuádrica degenerada no siempre es una variedad algebraica: por ejemplo, una cuádrica puede representarse como la unión de dos líneas, en este caso tal representación es única. Esto no es casual: cualquier conjunto algebraico puede representarse como la unión de un número finito de variedades algebraicas (de las cuales ninguna es subvariedad de otra), y, además, de forma única [7] . $xy$

Cubo Torcido

El conjunto de puntos en el espacio que tiene la forma es una variedad algebraica afín y, además, una curva algebraica no contenida en ningún plano. [8] Este conjunto es el “cubo torcido” que se muestra en la ilustración anterior (más precisamente, se muestra su proyección sobre un espacio real tridimensional). Se puede definir como el conjunto de ceros comunes de dos ecuaciones: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{alineado}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{alineado}}

La forma más sencilla de demostrar la irreductibilidad de este conjunto es utilizar la proyección ( x , y , z ) → ( x , y ), que es inyectiva sobre el conjunto de soluciones y cuya imagen es una curva irreducible (parábola).

La cúbica torcida se suele considerar como una variedad proyectiva en , que es la imagen del mapeo veronés . En muchos libros de texto, se da como el ejemplo más simple de una curva en un espacio proyectivo que no es lineal. La imagen de esta variedad en una de las tablas afines fue considerada arriba . ${\mathbb P}^{3}$

Definiciones relacionadas

Exhibición regular

Un mapeo regular entre variedades afines es un mapeo dado por polinomios. Más precisamente, si son variedades afines, una aplicación regular es una aplicación de la forma , donde , y , es decir, la imagen de cualquier punto de X satisface las ecuaciones que definen Y . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\puntos,f_{m})$ $f_{i}\en k[x_{1},\puntos,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subconjunto Y$

Más generalmente, un mapeo ƒ : X → Y de variedades cuasi-proyectivas es regular en un punto x si existe una vecindad U de x y una vecindad V de f ( x ) tales que la restricción ƒ : U → V es regular mapeo de variedades (afines). Entonces un mapeo es regular si es regular en todos los puntos del dominio de definición.

Una asignación regular a se llama función regular . El anillo de funciones regulares en una variedad afín V se llama anillo de coordenadas k [ V ]. Esta definición coincide con la definición de anillo de coordenadas dada anteriormente , ya que dos funciones regulares no coinciden si y sólo si su diferencia pertenece a . Además, este anillo coincide con el anillo de funciones racionales cuyos valores son finitos en todos los puntos de V (la prueba de este hecho utiliza la irreductibilidad de la variedad [9] ), o, más abstractamente, con el anillo de secciones globales del haz estructural en V (véanse los artículos Espectro de un anillo , Esquema ). También se puede considerar el campo de funciones k ( V ) en una variedad algebraica V , que consta de todas las funciones racionales en V. ${\matemáticas A}^{1}$ ${\matemáticas A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $yo(v)$

Las asignaciones regulares, por definición, son morfismos en la categoría de variedades algebraicas. En particular, del hecho de que la categoría de esquemas afines es dual a la categoría de anillos conmutativos , se deduce que los mapeos regulares entre variedades afines están en correspondencia biunívoca con los homomorfismos de sus anillos de coordenadas.

Una aplicación regular reversible cuyo inverso también es regular se llama aplicación biregular . Las variedades algebraicas son isomorfas si y solo si existe una aplicación biregular entre ellas.

La regularidad de un mapeo es una condición bastante fuerte: por ejemplo, del teorema de Liouville se sigue que las únicas funciones regulares en una variedad proyectiva son constantes. Por esta razón, a menudo se utilizan condiciones más débiles: la racionalidad del mapeo y la equivalencia birracional de las variedades.

Dimensión de una variedad

Sea k [ V ] el anillo de coordenadas de V . Entonces la dimensión de V es el grado de trascendencia del campo de fracciones del anillo k [ V ] como extensión del campo k [10] .

Hay muchas definiciones equivalentes de dimensión. Por ejemplo, sea x un punto no singular arbitrario de la variedad V , entonces la estructura haz sobre V nos permite definir un anillo local R x de “funciones racionales en el punto x ” con un máximo ideal m , entonces la dimensión de la variedad es la dimensión del factor anillo m / m 2 como un espacio vectorial sobre el campo R x / m . Otra definición: la dimensión de una variedad afín A es el supremo de n tal que hay una cadena de subvariedades afines . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Las variedades algebraicas de dimensión 1 se denominan curvas algebraicas . La mayoría de las veces, se consideran curvas algebraicas complejas; en la vecindad de un punto no singular, son homeomorfas a una variedad real bidimensional . El género de una curva algebraica compleja es el género de la superficie topológica correspondiente.

Las variedades algebraicas de dimensión 2 se denominan superficies algebraicas .

Véase también

Esquema (matemáticas)

Notas

↑ Hartshorne, 1981 , pág. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. Dieciocho.
↑ Harris, 2005 , pág. 17
↑ Jet Nestruev . Variedades suaves y observables. Capítulo 2, Proposición 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , ejercicio 2.9, p. treinta.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 21
↑ Harris, pág. 24; la irreductibilidad de este conjunto es un ejercicio en Hartshorne, p. 24
↑ Hartshorne, 1981 , pág. 35.
↑ Harris, 2005 , pág. 171.

Literatura

Mumford D. Libro rojo sobre variedades y esquemas. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 p. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Geometría algebraica. — M .: Mir, 1981. — 597 p.
Shafarevich I. R. Fundamentos de geometría algebraica. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 p. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Geometría algebraica. Curso inicial. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 p. - ISBN 5-94057-084-4 .

Enlaces

Ravi Vakil , MATH 216: Fundamentos de geometría algebraica Archivado el 5 de octubre de 2013 en Wayback Machine (versión 11/6/2013) - Notas de un curso de geometría algebraica impartido en la Universidad de Stanford.
SURFER Archivado el 2 de julio de 2017 en Wayback Machine es un programa gratuito para visualizar superficies algebraicas.