Polinomios de Faber

Los polinomios de Faber son una generalización de los polinomios de Chebyshev .

Definición

Sea — un continuo acotado — un conjunto conectado no vacío acotado que contiene más de un punto. Y es el de las regiones colindantes a las que pertenece . es una región simplemente conexa del plano extendido , cuyo límite es parte del continuo . $k$ ${\displaystyle g_{\infty ))$ $k$ $z=\infty$ $g_{\infty}\equiv D$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {\ infinito}}$ $k$

La región se mapea conforme al exterior de un círculo centrado en un punto por una función tal que se cumplan dos condiciones: ${\displaystyle g_{\infty ))$ ${\ estilo de visualización w = 0}$ ${\ estilo de visualización w = \ Phi (z)}$

\Phi (\infty)=\infty

\lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0

que la función está definida de manera única. De estas condiciones se sigue que la función , siendo analítica en la región , excepto en el punto , tiene un polo simple en el punto , y por lo tanto su desarrollo de Laurent en alguna vecindad del punto tiene la forma ${\ estilo de visualización \ Phi (z)}$ ${\ estilo de visualización w = \ Phi (z)}$ $D$ $z=\infty$ $z=\infty$ $z=\infty$

\Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .

El polinomio de Faber de orden n generado por el continuo se llama polinomio $k$

\Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2 }^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}

que son términos con potencias no negativas en la expansión de Laurent de la función en la vecindad del punto en el infinito. $z$ ${\ estilo de visualización \ Phi (z) ^ {n})$

Propiedades

Los polinomios de Chebyshev son un caso especial de los polinomios de Faber para . $K=[-1;1]$

Enlaces

Polinomios de Suetin P.K. Faber.
Weisstein, Eric W. Faber Polynomial (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .