Esfera de Riemann

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La esfera de Riemann es una representación visual de un conjunto en forma de esfera, al igual que el conjunto de números reales se representa en forma de línea recta y el conjunto de números complejos se representa en forma de plano . Por esta razón, el término "esfera de Riemann" se utiliza a menudo como sinónimo del término " conjunto de números complejos complementados por un punto en el infinito ", junto con el término " plano complejo extendido ". [una] ${\ widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

En un enfoque más formal, la esfera de Riemann se entiende como una esfera en el espacio dada por la ecuación , con proyección estereográfica en el plano , identificado con el plano complejo. Es esta construcción formalmente definida la que se discutirá a continuación. [una] $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}=z}$ $oxi$

Descripción

Considere un espacio euclidiano tridimensional . Las coordenadas de los puntos en el espacio tridimensional se denotarán por . Considere una esfera tangente al plano en un punto con diámetro . Tal esfera viene dada por la ecuación $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización (\ xi, \ eta, \ zeta) \ en \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $S$ ${\ Displaystyle O \ xi \ eta}$ ${\ estilo de visualización (0; 0; 0)}$ $una$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Cada punto del plano se puede asociar con un punto de la esfera de la siguiente manera. Dibujemos a través de un punto y una línea; esta línea cortará a la esfera en un punto más, que consideraremos correspondiente al punto . Tal correspondencia se llama proyección estereográfica centrada en . A cada punto del plano se asocia unívocamente un punto de la esfera. Sin embargo, no todo punto de la esfera corresponde a un punto del plano: ningún punto del plano corresponde a un punto. Por lo tanto, tenemos una correspondencia biunívoca entre el plano y . ${\ estilo de visualización (\ xi; \ eta; 0) \ en O \ xi \ eta}$ ${\ estilo de visualización M \ en S}$ ${\ estilo de visualización N = (0; 0; 1)}$ ${\ estilo de visualización (\ xi; \ eta; 0)}$ ${\ estilo de visualización (\ xi; \ eta; 0)}$ $norte$ $norte$ ${\ Displaystyle O \ xi \ eta}$ $S\setminus\{N\}$

El plano se puede identificar con el plano complejo , . Luego, la correspondencia definida anteriormente define un mapeo continuo de uno a uno . Para completar este mapeo a una biyección a toda la esfera, complementamos el conjunto con un punto más, que consideraremos la imagen inversa del punto . Llamaremos a este punto el punto en el infinito y lo denotaremos por . Tenemos una biyección . El conjunto se llama el conjunto extendido de números complejos , la esfera se llama esfera de Riemann . [una] ${\ Displaystyle O \ xi \ eta}$ $\matemáticas {C}$ ${\ estilo de visualización x + iy = (\ xi, \ eta, 0)}$ ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\))$ $\matemáticas {C}$ $norte$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ $S$

La construcción descrita se usa a menudo en muchos libros de texto para definir visualmente el conjunto extendido de números complejos. De hecho, la topología en este conjunto se puede definir estableciendo los conjuntos abiertos como preimágenes de conjuntos abiertos con respecto a , y las operaciones se extienden hasta el infinito por continuidad. La definición que utiliza la esfera de Riemann describe completamente la esencia de la expansión del conjunto de números complejos, además, representa su interpretación visual. $\Pi$

Formal definición

Esfera dada en el espacio por la ecuación $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

junto con el mapeo dado como ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

llamada esfera de Riemann .

El mapeo en la definición se puede invertir, el significado de esto no cambiará.

Coordenadas

Las coordenadas numéricas en el conjunto extendido de números complejos se introducen de tres maneras:

coordenada compleja afín capaz de tomar el valor ; $z$ $\infty$
coordenadas complejas homogéneas proyectivas ; $[z_{0}:z_{1}]$
coordenadas reales tridimensionales relacionadas por la ecuación: $\xi ,\eta ,\zeta$

{\ estilo de visualización \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2} = \ zeta}

La transición de una coordenada a otra viene dada por las fórmulas:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matriz}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {matriz}}\derecha.

\left\{{\begin{matriz}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matriz}}\right.

{\ Displaystyle z = {\ frac {\ xi + i \ eta} {1- \ zeta}}}

[una]

Métrica esférica

La esfera de Riemann nos permite introducir otra métrica en el conjunto, diferente a la euclidiana. Esta métrica se llama la métrica esférica . Se define como la métrica euclidiana entre puntos correspondientes en la esfera de Riemann. Es decir, para dos números $\matemáticas {C}$ $z_{1},z_{2}\en \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta^{2}-\zeta^{2})}}

No es difícil obtener una expresión directa para tal distancia.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\raíz cuadrada {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Las métricas euclidiana y esférica son equivalentes en . La peculiaridad de la métrica esférica es que puede extenderse a un conjunto extenso de números complejos, en contraste con la euclidiana. Tal continuación se define exactamente de la misma manera. Para dos elementos $\matemáticas {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta^{2}-\zeta^{2})}}

La expresión directa para tal distancia, cuando uno de los puntos es infinito, se escribe de otra manera.

\rho (z,\infty)={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2))))

[una]

Automorfismos

Los automorfismos de un dominio se denominan aplicaciones biyectivas holomorfas de este dominio en sí mismo. En el caso de los automorfismos de todo el conjunto extendido de números complejos, se suele utilizar el término "automorfismos de la esfera de Riemann", un ejemplo de cómo el término "esfera de Riemann" se utiliza como sinónimo del término "conjunto extendido de números complejos". números". Los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones lineales fraccionarias (o transformaciones de Möbius ). Dejar $U\subconjunto \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\right|\neq 0

La transformación lineal fraccionaria se define como $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac{az+c}{bz+d))

extendida a la continuidad en todos los puntos donde esta expresión no está directamente definida.

Las asignaciones fraccionarias lineales en la esfera de Riemann transforman círculos en círculos. [2]

Aplicaciones

Aparte de las matemáticas, la esfera de Riemann es famosa en la física teórica .

En relatividad especial , la esfera de Riemann es un modelo de la esfera celeste . Las transformaciones de Möbius están relacionadas con las transformaciones de Lorentz y describen la distorsión de la esfera celeste para un observador que se mueve casi a la velocidad de la luz.

Las transformaciones de Möbius y Lorentz también están relacionadas con los espinores . En mecánica cuántica , la esfera de Riemann parametriza los estados de los sistemas descritos por un espacio bidimensional (ver q-bit ), especialmente el espín de partículas masivas con espín 1/2, como el electrón . En este contexto, la esfera de Riemann se llama esfera de Bloch y las coordenadas de latitud y longitud se usan en ella casi como en una esfera regular, solo la latitud se cuenta desde el polo y el ángulo se divide por 2, incluido (ver Fig. ) $\ theta$ $0<\theta <\pi /2$

En este caso, las siguientes relaciones son verdaderas:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\left\{{\begin{matriz}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matriz} }\Correcto.

En óptica de polarización , la esfera de Riemann se denomina esfera de Poincaré y los ejes de coordenadas se denominan parámetros de Stokes .

El interior de la esfera

El interior de la esfera ( bola ) permite la interpretación semántica en las dos aplicaciones anteriores. Como la esfera celeste es un conjunto de direcciones similares a la luz del espacio-tiempo, su interior corresponde a direcciones similares al tiempo, es decir, de hecho, velocidades sublumínicas relativistas . Este espacio es hiperbólico (tiene una curvatura negativa constante como el plano de Lobachevsky , solo que con dimensión 3, no 2); está naturalmente sujeto a las transformaciones de Möbius.

El interior de la esfera de Bloch corresponde a los llamados estados mixtos del q-bit, y está dispuesto geométricamente como una bola regular.

Sin embargo, ambos están descritos por matrices hermitianas de 2 × 2 definidas positivas, consideradas hasta la multiplicación por un número positivo.

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.

Enlaces

Esfera de Riemann // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), esfera de Riemann , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

↑ 1 2 3 4 5 Shabat, 1969 , pág. dieciséis.
↑ Shabat, 1969 , pág. 47.