Funciones de Bessel modificadas

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Las funciones de Bessel modificadas son funciones de Bessel de un argumento puramente imaginario .

Si en la ecuación diferencial de Bessel

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

reemplazar con , tomará la forma $\z$ ${\ estilo de visualización \ iz}$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Esta ecuación se llama ecuación de Bessel modificada .

Si no es un número entero, entonces las funciones de Bessel y son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación . Sin embargo, las funciones se usan más comúnmente. $\nu$ ${\ Displaystyle J_ {\ nu} (iz)}$ $J_{-\nu }(iz)$ $(una)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

I_{-\nu }(z).

Se denominan funciones de Bessel modificadas de primera clase o funciones de Infeld . Si es un número real y z no es negativo, entonces estas funciones toman valores reales. $\nu$

$\nu$ se llama el orden de la función.

Función

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr]}

es también una solución a la ecuación . Se denomina función de Bessel modificada de segunda clase o función de Macdonald . Es obvio que $(una)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

y toma valores reales si es un número real, y es positivo. $\nu$ $z$

Funciones de orden entero

Ya que , para un todo , como sistema fundamental de soluciones de la ecuación , elegimos y donde $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(una)$ ${\ estilo de visualización I_ {n} (z)}$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Relaciones recurrentes y fórmulas de diferenciación

Funciones de Bessel modificadas de primer tipo

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Funciones de Bessel modificadas de segundo tipo

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Sistema wronskiano de funciones de Bessel modificadas

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Representaciones integrales

Funciones de Bessel modificadas de primer tipo

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 {2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

es la función gamma .

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 {2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in\mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Funciones de Bessel modificadas de segundo tipo

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ fracción {\ pi }{2}}.

Comportamiento asintótico

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{ z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Caso especial:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Nota

Hay una serie clásica de Schlömilch en las funciones j de Bessel [1] [2]

Véase también

Funciones cilíndricas

Literatura

Watson G. Teoría de las funciones de Bessel. T. 1, 2. - M.: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores. Funciones de Bessel, funciones de cilindros parabólicos, polinomios ortogonales: biblioteca matemática de referencia. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 p.

Notas

↑ Lyakhov L. N. En la serie j de Schlemilch. Declaraciones científicas. Serie "Matemáticas. Física". 2013. Nº 12 (155). Tema. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J. N. Watson. Teoría de las funciones de Bessel. (Libro). Capítulo XIX. Filas de Schlemilch

Enlaces

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Función de Bessel modificada de segundo tipo en Wolfram MathWorld .