Número complejo

El hecho de que el producto sea un número real puede utilizarse para expresar la fracción compleja en forma canónica, es decir, para eliminar el denominador imaginario. Para ello, multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada al denominador [21] , por ejemplo:

Formas de representación de un número complejo

Forma algebraica

Arriba, usamos la notación de un número complejo en la forma en que dicha notación se llama la forma algebraica de un número complejo. Las otras dos formas principales de notación están asociadas con la representación de un número complejo en el sistema de coordenadas polares .

Forma trigonométrica

Si las partes real e imaginaria de un número complejo se expresan en términos de módulo y argumento (es decir , , , ), entonces cualquier número complejo , excepto el cero, se puede escribir en forma trigonométrica [16] :

Como se mencionó anteriormente, el cero no tiene argumento; para un número distinto de cero se determina hasta un múltiplo entero

Forma indicativa

La fórmula de Euler [21] es de fundamental importancia en el análisis complejo :

donde  es el número de Euler , ,  es el coseno y seno ,  es el exponente complejo , continuando con el real en el caso de un exponente complejo común.

Aplicando esta fórmula a la forma trigonométrica, obtenemos la forma exponencial del número complejo [21] :

Consecuencias

Ejemplo [22] . Representemos el número en forma trigonométrica y exponencial

De aquí:

Fórmula de De Moivre y extracción de raíces

Esta fórmula ayuda a elevar a una potencia entera un número complejo distinto de cero representado en forma trigonométrica. La fórmula de De Moivre tiene la forma [12] :

donde  es el módulo y  es el argumento de un número complejo. En el simbolismo moderno, fue publicado por Euler en 1722. La fórmula anterior es válida para cualquier número entero , no necesariamente positivo.

Una fórmula similar también es aplicable cuando se calculan las raíces del grado a partir de un número complejo distinto de cero [21] :

donde k toma todos los valores enteros desde hasta . Esto significa que las raíces th de un número complejo distinto de cero existen para cualquier número natural y su número es igual a . En el plano complejo, como se puede ver en la fórmula, todas estas raíces son los vértices de un -gon regular inscrito en un círculo de radio centrado en el origen (ver figura).

El significado principal de la raíz

Si en la fórmula de Moivre se elige como argumento su valor principal, entonces el valor de la raíz en se denomina valor principal de la raíz [23] . Por ejemplo, el valor principal de un número es

Raíz cuadrada

Para extraer la raíz cuadrada de un número complejo, puede convertir este número a una forma trigonométrica y usar la fórmula de Moivre para Pero también hay una representación puramente algebraica para dos valores de raíz. Cuando las raíces de un número son un par de números: donde [24] :

Aquí  está la función de "signo" , y los radicales denotan la raíz aritmética habitual de un número real no negativo. La fórmula se verifica fácilmente elevando al cuadrado. El número es el valor principal de la raíz cuadrada.

Ejemplo : para la raíz cuadrada de lafórmula, se dan dos valores:

Historia

Por primera vez, al parecer, las cantidades imaginarias fueron mencionadas en la obra de Cardano “El gran arte, o sobre reglas algebraicas” (1545), como parte de la solución formal del problema de calcular dos números cuya suma es igual. a 10, y el producto es igual a 40. Recibió para estos problemas una ecuación cuadrática, cuyas raíces son: y En el comentario a la solución, escribió: “estas cantidades complejísimas son inútiles, aunque muy ingeniosas”, y “las consideraciones aritméticas se vuelven cada vez más escurridizas, llegando al límite tan refinadas como inútiles” [25] .

La posibilidad de usar cantidades imaginarias para resolver una ecuación cúbica fue descrita por primera vez por Bombelli (1572), también dio las reglas para la suma, resta, multiplicación y división de números complejos. La ecuación tiene una raíz real , pero según las fórmulas de Cardano, obtenemos: Bombelli descubrió que así la suma de estas cantidades da la raíz real deseada. Señaló que en tales casos ( irreducibles ), las raíces complejas de la ecuación siempre son conjugadas, por lo que la suma es un valor real. Las explicaciones de Bombelli sentaron las bases para la aplicación exitosa de los números complejos en las matemáticas [26] [25] .

Expresiones que se pueden representar como apareciendo al resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas, donde comenzaron a llamarse "imaginarias" en los siglos XVI-XVII por sugerencia de Descartes , quien las llamó así, rechazando su realidad. Para muchos otros científicos destacados del siglo XVII, la naturaleza y el derecho a existir de cantidades imaginarias también parecían muy dudosas. Leibniz , por ejemplo, escribió en 1702: "El Espíritu de Dios encontró la salida más sutil en este milagro del análisis, un fenómeno del mundo de las ideas, una esencia dual, situada entre el ser y el no ser, que llamamos raíz imaginaria". de una unidad negativa". A pesar de estas dudas, los matemáticos aplicaron con confianza a los números "imaginarios" las reglas algebraicas usuales para cantidades reales y obtuvieron resultados correctos [25] .

Durante mucho tiempo no estuvo claro si todas las operaciones con números complejos conducen a resultados complejos o si, por ejemplo, extraer una raíz puede conducir al descubrimiento de algún otro tipo nuevo de número. El problema de expresar las raíces de un número dado fue resuelto por Moivre (1707) y Cotes (1722) [27] .

El símbolo para la unidad imaginaria fue propuesto por Euler (1777, publ. 1794), quien tomó para esto la primera letra de la palabra latina imaginarius  - "imaginario". También extendió todas las funciones estándar, incluido el logaritmo , al dominio complejo. Euler también expresó la idea en 1751 de que en el sistema de números complejos cualquier polinomio tiene una raíz ( el teorema fundamental del álgebra , anterior a Euler, Albert Girard y René Descartes hicieron suposiciones similares ) [28] . d'Alembert (1747) llegó a la misma conclusión , pero la primera prueba rigurosa de este hecho pertenece a Gauss (1799) [26] . Gauss e introdujo el término "número complejo" en un uso generalizado en 1831 (anteriormente, el término fue utilizado en el mismo sentido por el matemático francés Lazar Carnot en 1803, pero luego no ganó popularidad) [29] .

La representación geométrica de los números complejos, que contribuyó en gran medida a su legalización, fue propuesta a finales del siglo XVIII y principios del XIX, primero por Wessel y Argan (sus obras no llamaron la atención), y luego por Gauss [30] . El modelo aritmético (estándar) de números complejos como pares de números reales fue construido por Hamilton (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); esto probó la consistencia de sus propiedades. Los términos "módulo", "argumento" y "número conjugado" fueron introducidos a principios del siglo XIX por Cauchy , quien avanzó significativamente en el análisis complejo . A partir del siglo XIX se inició un rápido y sumamente fructífero desarrollo de la investigación sobre las funciones de una variable compleja. [2] [31] .

Ante este exitoso enfoque, se inició la búsqueda de una forma de representar vectores en el espacio tridimensional , similar al plano complejo. Como resultado de quince años de búsqueda , Hamilton propuso en 1843 una generalización de los números complejos: los cuaterniones , que se vio obligado a convertir no en tridimensionales, sino en cuatridimensionales (los vectores tridimensionales representaban la parte imaginaria de los cuaterniones); Hamilton también tuvo que abandonar la conmutatividad de la operación de multiplicación [2] .

En 1893, Charles Steinmetz sugirió usar números complejos para calcular circuitos eléctricos de CA (ver más abajo ).

Funciones complejas

Funciones analíticas

Una función compleja de una variable es una función que se define sobre alguna región del plano complejo y asigna valores complejos a los puntos de esta región [32] . Ejemplos:

Cada función compleja puede considerarse como un par de funciones reales de dos variables: definiendo sus partes real e imaginaria, respectivamente. Las funciones , se denominan componentes de una función compleja De manera similar, se define una función de varias variables complejas [32] .

Una representación visual de una función compleja mediante un gráfico es difícil, ya que incluso para una función de una variable compleja, el gráfico requiere cuatro dimensiones (dos para el dominio de definición y dos más para el rango de valores). Si en lugar del valor de la función consideramos su módulo, entonces el relieve resultante de la función se ubica en tres dimensiones y da una idea del comportamiento de la función [33] .

Todas las funciones de análisis estándar  ( polinomio , función fraccionaria lineal, función de potencia , exponencial , funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas , logaritmo  ) se pueden extender al plano complejo. En este caso, se mantendrán para ellos las mismas identidades algebraicas, diferenciales y otras que para el original real [32] , por ejemplo:

Para funciones complejas, los conceptos de límite , continuidad y derivada se definen de la misma forma que en el análisis real, reemplazando el valor absoluto por un módulo complejo [32] .

Las funciones complejas derivables (es decir, funciones que tienen una derivada) tienen una serie de características en comparación con las reales [34] .

• Las partes real e imaginaria de la función diferenciable son funciones armónicas conectadas por las condiciones de Cauchy-Riemann .
• Cualquier función compleja derivable en alguna vecindad de un punto es derivable un número ilimitado de veces en este punto (es decir, es analítica u holomorfa ).

La integral definida para funciones de una variable compleja, en términos generales, depende de la ruta de integración (es decir, la elección de una curva desde el punto inicial hasta el punto final en el plano complejo). Sin embargo, si la función integrable es analítica en un dominio simplemente conexo , entonces su integral dentro de este dominio no depende del camino [35] .

Transformaciones planas complejas

Cualquier función compleja puede considerarse como una transformación del plano complejo (o como una transformación de un plano complejo en otro). Ejemplos:

•  - traslación paralela , determinada por el radio vector del punto
• donde  es un número complejo con módulo unitario, es una rotación alrededor del origen por un ángulo igual al argumento
•  es una reflexión especular sobre el eje real.

Dado que cualquier movimiento en el plano es una combinación de las tres transformaciones anteriores, las funciones y dan una expresión general para el movimiento en el plano complejo [36] .

Otras transformaciones lineales [36] :

• , donde  es un número real positivo, especifica el alargamiento con un factor si o los tiempos de reducción si
• transformaciones y donde  son números complejos arbitrarios, defina la transformación de similitud ;
• transformación donde  es la forma general de una transformación afín del plano complejo (cuando la transformación no será afín, ya que degenerará el plano en una línea recta).

Las transformaciones lineales-fraccionales [37] juegan un papel importante en el análisis complejo :

En este caso (de lo contrario, la función degenera en una constante). Una propiedad característica de la transformación lineal-fraccional: transforma círculos y rectas en círculos y rectas (es decir, en los llamados círculos generalizados [38] [39] , que incluyen “círculos de radio infinito” - rectas ). En este caso, la imagen del círculo puede resultar una línea recta y viceversa [37] .

Otras funciones de transformación útiles en la práctica incluyen: la inversión de la función Zhukovsky . La inversión, como la transformación lineal-fraccional, transforma círculos generalizados en círculos generalizados.

Geometría analítica en el plano complejo

El estudio de las figuras planas a menudo se facilita si se trasladan al plano complejo. Muchos teoremas de planimetría permiten una notación clara y compacta utilizando números complejos, por ejemplo [40] :

• Tres puntos (distintos) se encuentran en la misma línea si y solo si se cumple la siguiente condición:

• Cuatro puntos (distintos) se encuentran en el mismo círculo generalizado (círculo o línea) si y solo si se cumple la siguiente condición:

• Si se dan tres vértices de un paralelogramo : entonces el cuarto está determinado por la igualdad [41] :

La ecuación paramétrica de una recta en el plano complejo tiene la forma [42] :

El ángulo entre dos líneas y es En particular, las líneas son perpendiculares solo cuando  es un número puramente imaginario. Dos líneas son paralelas si y solo si hay un número real; si también es real, entonces ambas líneas coinciden. Cada recta corta el plano complejo en dos semiplanos: en uno de ellos la expresión es positiva, en el otro es negativa [42] .

La ecuación de un círculo con centro y radio tiene una forma extremadamente simple: La desigualdad describe el interior de un círculo ( un círculo abierto ) [42] . La forma paramétrica de la ecuación circular suele ser conveniente [43] :

Lugar en álgebra general, topología y teoría de conjuntos

El conjunto de los números complejos forma un campo , que es una extensión finita del campo de los números reales de grado 2. La principal propiedad algebraica  es que es algebraicamente cerrado , es decir, cualquier polinomio en él tiene raíces (complejas) y, por tanto, , se descompone en factores lineales. También se dice que hay una clausura algebraica [44] del campo

La característica del campo complejo es cero, la potencia como conjunto es la misma que la del campo de los números reales, es decir, el continuo . El teorema de Frobenius estableció que solo hay dos campos sesgados que son extensiones finitas  : el campo de los números complejos y el campo sesgado de los cuaterniones [45] .

Es imposible convertir el campo de los números complejos en un campo ordenado , porque en un campo ordenado el cuadrado de cualquier elemento es no negativo, y en él no puede existir una unidad imaginaria.

De las propiedades del módulo se sigue que los números complejos forman la estructura de un espacio normado bidimensional sobre el campo

El campo admite infinitos automorfismos , pero solo uno de ellos (sin contar la identidad) deja los números reales en su lugar [46] .

Los campos y  son los únicos campos topológicos localmente compactos conectados [47] .

Algunas aplicaciones prácticas

Aquellas características de los números complejos y funciones que los distinguen de los reales han resultado útiles y muchas veces indispensables en matemáticas, ciencias naturales y tecnología.

Matemáticas

Las aplicaciones de los propios números complejos ocupan un lugar destacado en las matemáticas, en particular, los conceptos de números algebraicos , encontrar las raíces de polinomios , la teoría de Galois , el análisis complejo , etc.

Al transferir un problema geométrico de un plano ordinario a uno complejo, a menudo tenemos la oportunidad de simplificar significativamente su solución [48] [49] .

Muchos problemas complejos en la teoría de números (por ejemplo, la teoría de los residuos bicuadráticos ) y el análisis matemático real (por ejemplo, el cálculo de integrales complejas o impropias ) solo podrían resolverse utilizando herramientas de análisis complejas . Una poderosa herramienta para los descubrimientos en teoría de números resultó ser, por ejemplo, los números gaussianos de la forma donde  son enteros [50] . Para estudiar la distribución de los números primos, se necesitaba la función zeta compleja de Riemann [51] .

A menudo, los problemas del análisis real se aclaran por su compleja generalización. El ejemplo clásico es la expansión de Taylor.

Esta serie converge únicamente en el intervalo , aunque los puntos no son especiales para la función reducida. La situación se vuelve más clara cuando se pasa a una función de variable compleja , que tiene dos puntos singulares: los polos . En consecuencia, esta función puede expandirse en una serie solo en un círculo de radio unidad [52] .

Al resolver ecuaciones diferenciales lineales , es importante encontrar primero todas las raíces complejas del polinomio característico y luego tratar de resolver el sistema en términos de exponenciales básicos [53] . En las ecuaciones en diferencias , las raíces complejas de la ecuación característica de un sistema de ecuaciones en diferencias se utilizan para un propósito similar [54] . Con la ayuda de la teoría de los residuos , que forma parte del análisis complejo, se calculan muchas integrales complejas sobre contornos cerrados [55] ..

El estudio de una función a menudo se asocia con el análisis de su espectro de frecuencia utilizando la transformada compleja de Fourier o Laplace [56] .

La representación de números complejos en informática y soporte informático para aritmética compleja se describe en el artículo Tipo de datos complejos .

Mapeo conforme

Como se señaló anteriormente, cualquier función compleja puede considerarse como una transformación de un plano complejo en otro. Una función suave ( analítica ) tiene dos características: si en un punto dado la derivada no es igual a cero, entonces la relación estiramiento/compresión en esta transformación es la misma en todas las direcciones, el ángulo de rotación también es constante ( mapeo conforme ) [ 57] . Este hecho está relacionado con la amplia aplicación de funciones complejas en cartografía [58] [59] e hidrodinámica [60] .

Mecánica cuántica

La base de la mecánica cuántica es el concepto de una función de onda compleja Para describir la dinámica de un sistema cuántico, se utilizan ecuaciones diferenciales con coeficientes complejos como la ecuación de Schrödinger . Las soluciones a estas ecuaciones se dan en un espacio de Hilbert complejo . Los operadores correspondientes a las cantidades observadas son hermitianos . El conmutador de los operadores de posición y momento es un número imaginario [61] :

Aquí está la constante de Planck  reducida , es decir, ( la constante de Dirac ).

Las matrices de Pauli y las matrices de Dirac juegan un papel importante en la mecánica cuántica , algunas de las cuales contienen valores complejos [61] .

Ingeniería eléctrica

Dado que la corriente alterna es un proceso oscilatorio, es conveniente describirlo y estudiarlo usando números complejos. Los conceptos de impedancia, o resistencia compleja , también se introducen para los elementos reactivos de un circuito eléctrico, como la capacitancia y la inductancia, lo que ayuda a calcular las corrientes en el circuito [62] . Debido al hecho de que tradicionalmente el símbolo en ingeniería eléctrica denota la magnitud de la corriente, la unidad imaginaria se denota allí con la letra [63] . En muchas áreas de la ingeniería eléctrica (principalmente radiofrecuencia y óptica), no se utiliza el registro de las ecuaciones de corriente y voltaje para el circuito, sino directamente las ecuaciones de Maxwell en su representación espectral, cuyas magnitudes físicas se dan en el plano complejo, y durante la transición de - a - espacio (donde  - tiempo ,  es la frecuencia angular ) mediante la transformada de Fourier se obtienen ecuaciones más sencillas sin derivadas [64] .

Fundamentos lógicos

La extensión del campo de los números reales a los complejos, como cualquier otra extensión de la estructura algebraica, plantea muchas preguntas, las principales de las cuales son preguntas sobre cómo definir operaciones sobre un nuevo tipo de números, qué propiedades tendrán las nuevas operaciones , y (la pregunta principal) es su expansión permisible, si conducirá a contradicciones inamovibles.

Para analizar tales cuestiones en la teoría de los números complejos, es necesario formar un conjunto de axiomas.

Axiomática de números complejos

Es posible definir la axiomática del conjunto de los números complejos , si nos apoyamos en la teoría axiomática de los números reales . Es decir, definimos como el campo mínimo que contiene el conjunto de números reales y al menos un número cuya segunda potencia es −1, la unidad imaginaria . Hablando más estrictamente, los axiomas de los números complejos son los siguientes [65] [66] .

Todas las demás propiedades se siguen como corolarios de estos axiomas. Los primeros 11 axiomas significan lo que forma el campo, y el axioma 12 establece que este campo es una extensión .

Hay otras versiones de la axiomática de los números complejos. Por ejemplo, en lugar de confiar en el campo ordenado de números reales ya construido, uno puede usar la axiomática de la teoría de conjuntos como base [68] .

Consistencia y Modelos

La forma estándar de probar la consistencia de una nueva estructura es modelar ( interpretar ) sus axiomas utilizando objetos de otra estructura, cuya consistencia está fuera de toda duda. En nuestro caso, debemos implementar estos axiomas sobre la base de números reales [69] .

Modelo estándar

Considere todos los posibles pares ordenados de números reales. En este modelo, cada par corresponderá a un número complejo [70]

A continuación, defina [69] :

1. pares y se consideran iguales si y
2. suma : la suma de pares y se define como un par
3. multiplicación : producto de pares y se define como un par

Explicación: la aparentemente complicada definición de multiplicación se deriva fácilmente de la relación

Es fácil verificar que la estructura de pares descrita forma un campo y satisface toda la lista de axiomas de números complejos. Los números reales se modelan en pares que forman un subcampo , y las operaciones con tales pares son consistentes con la suma y multiplicación habitual de números reales. Los pares y corresponden al cero y la unidad del campo. Este método es un caso especial del procedimiento de Cayley-Dixon .

La unidad imaginaria  es un par, su cuadrado es igual , es decir,  cualquier número complejo se puede escribir como

El modelo descrito prueba que la axiomática dada de los números complejos es consistente. Porque si hubiera una contradicción en él, entonces esto significaría una contradicción en la aritmética básica de los números reales para este modelo, que asumimos de antemano como consistente [69] .

Modelo matricial

Los números complejos también se pueden definir como un subanillo del anillo de matrices reales  2×2 de la forma

con la habitual suma y multiplicación de matrices [2] . La unidad real corresponderá a

unidad imaginaria -

.

El conjunto de tales matrices es un espacio vectorial bidimensional . La multiplicación por un número complejo es un operador lineal . En la base , el operador lineal de multiplicación por está representado por la matriz anterior, ya que [2] :

El modelo matricial facilita la demostración de la relación entre números complejos y transformaciones lineales de un tipo particular de plano. Es decir, existe una correspondencia biunívoca entre los números complejos y las homotecias rotacionales del plano ( combinaciones de extensión sobre un punto y rotación ): cada homotecia rotacional puede representarse en el plano complejo como una multiplicación por un número complejo [71 ] .

El modelo de anillo factorial de polinomios

Considere un anillo polinómico con coeficientes reales y construya su anillo cociente módulo el polinomio (o, lo que es lo mismo, según el ideal generado por el polinomio especificado). Esto significa que consideraremos que dos polinomios de son equivalentes si, al dividirlos por un polinomio , dan el mismo residuo. Por ejemplo, un polinomio será equivalente a una constante , un polinomio será equivalente , etc. [72]

El conjunto de clases de equivalencia forma un anillo con identidad. Como el polinomio es irreducible , este anillo de factores es un campo. El papel de la unidad imaginaria lo juega el polinomio, ya que su cuadrado (ver arriba) es equivalente.Cada clase de equivalencia contiene un resto de la forma (de la división por ), que, en vista de lo dicho, se puede escribir como Por lo tanto, este campo es isomorfo al campo de los números complejos [72] .

Este isomorfismo fue descubierto por Cauchy en 1847. Este enfoque se puede utilizar para construir generalizaciones de números complejos como las álgebras de Clifford [73] .

Caracterización algebraica

Como se mencionó anteriormente , el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado y tiene la característica cero (se deduce de la última propiedad que contiene un subcampo de los números racionales ). Además, cualquier base de trascendencia sobre tiene la cardinalidad del continuo [K 3] . Estas tres propiedades son suficientes para definir el campo de los números complejos hasta el isomorfismo de campo  : entre dos campos algebraicamente cerrados de característica 0 con una base de trascendencia continua, existe alguna identificación consistente con las operaciones de suma y multiplicación de estos campos [74] [75] [K 4] .

Bajo esta identificación, es posible que no se conserven otras estructuras, como la norma o la topología . Por ejemplo, la clausura algebraica de un campo de números -ádicos también satisface las tres propiedades indicadas. Sin embargo, la norma -ádica no es arquimediana y, por tanto, no es equivalente a la norma habitual de los números complejos para cualquier elección de isomorfismo [76] . Por tanto, definen una estructura diferente del espacio vectorial topológico : el conjunto de cualquier elemento del espacio vectorial y sus multiplicidades integrales es discreto en el caso complejo y compacto  en el -ádico [76] .

Variaciones y generalizaciones

La generalización más cercana de los números complejos se descubrió en 1843. Resultó ser el cuerpo de los cuaterniones , que, a diferencia del campo de los números complejos, contiene tres unidades imaginarias, tradicionalmente denotadas Según el teorema de Frobenius , los números complejos son uno de los tres casos posibles de un álgebra de división de dimensión finita sobre el campo. de números reales. En 1919, resultó que tanto los números complejos a partir de reales como los cuaterniones a partir de números complejos se pueden obtener mediante un procedimiento de duplicación unidimensional , también conocido como el " procedimiento de Cayley-Dixon " [77] .

Mediante la aplicación adicional de este procedimiento, se forman los números descritos por Arthur Cayley en 1845, antes del descubrimiento de este procedimiento, y llamados " números de Cayley " (octoniones, octavas). Los números obtenidos por la siguiente aplicación del procedimiento se denominan sedeniones . A pesar del hecho de que este procedimiento puede repetirse más, todavía no hay más nombres [77] .

Otros tipos de extensiones de números complejos ( números hipercomplejos ):

• bicuaterniones
• Números complejos de tipo hiperbólico (doble)
• Números complejos de tipo parabólico (dual)

Notas

Comentarios

1. ↑ Los dos acentos posibles se dan según las siguientes fuentes.
   • Gran Enciclopedia Soviética , 3ª ed. (1973), volumen 12, página 588, artículo Números complejos .
   • Diccionario enciclopédico soviético (1982), página 613, artículo Número complejo .
   • La última edición del Diccionario de las dificultades del idioma ruso (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indica ambas opciones: números complejos (complejos) .
   • La Gran Enciclopedia Rusa (Vol. 14, 2010) ofrece opciones: Número complejo (p. 691, autor no especificado), pero Análisis complejo Copia de archivo fechada el 2 de julio de 2019 en Wayback Machine (p. 695, autor: miembro correspondiente de la Academia Rusa de Ciencias E. M. Chirka ).
   • Diccionario de ortografía de la lengua rusa (ed. 6, 2010), Diccionario de gramática de la lengua rusa, Diccionario de ortografía rusa de la Academia de Ciencias de Rusia , ed. V. V. Lopatina (ed. 4th, 2013) y varios otros diccionarios indican opciones: complejo y complejo (mat.) .
2. ↑ Sujeto a la consistencia del sistema de números reales.
3. ↑ Es decir, se diferencia de (el campo de funciones racionales para un conjunto de variables de potencia continua) por una extensión algebraica
4. ↑ Dado que una aplicación en un campo algebraicamente cerrado siempre puede extenderse a una extensión algebraica, para establecer un isomorfismo entre campos algebraicos cerrados basta con establecer un isomorfismo entre sus subcampos simples y una biyección entre bases de trascendencia.

Referencias

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Enlaces

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• Calculadora de fórmulas de números complejos bajo Windows . Fecha de acceso: 17 de enero de 2018. (indefinido)
• Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. Dimensiones de la película. Capítulos5 y6: Números complejos. (Ruso)

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