Operador monótono

Un operador monótono es un operador que satisface la condición de monotonicidad. El concepto de operador monótono es una generalización del concepto de función monótona . Es ampliamente utilizado en análisis funcional en el estudio y solución aproximada de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales parciales.

Definición

Sea un espacio topológico lineal y sean elementos arbitrarios de . Denótese el producto escalar de los elementos , es la norma en el espacio . El operador se llama: $X$ $tú, v$ ${\ estilo de visualización u, v \ en X}$ ${\ estilo de visualización \ langle u, v \ rangle}$ $tú, v$ ${\ estilo de visualización \|.\|}$ $X$ ${\ estilo de visualización A \ en (X \ a X *)}$

monotónico si ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant 0$
estrictamente monotónico si para ; $\langle Au-Av,uv\rangle >0$ $u\neqv$
d - monótona si para alguna función estrictamente creciente en ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ $\alfa$ $\left[0,\infty \right)$
uniformemente monótona si para alguna función estrictamente creciente en c ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant \rho (\|uv\|)$ $\rho$ $\left[0,\infty \right)$ ${\ estilo de visualización \ rho (0) = 0}$
fuertemente monótona (con monotonicidad constante m) si , . ${\displaystyle \langle Au-Av,uv\rangle \geqslant m\|uv\|^{2))$ $m>0$
radialmente continua si para cualquier función real fija es continua en . ${\ estilo de visualización u, v \ en X}$ $s\to\langle A(u+sv),v\rangle$ ${\ estilo de visualización \ izquierda [0,1 \ derecha]}$
coercitiva , si existe una función de valor real con , tal que $\left[0,\infty \right)$ $\gama$ $\lim _{s\to \infty}=+\infty$ $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$

Teorema fundamental de la teoría de los operadores monótonos

Sea un operador coercitivo monótono radialmente continuo. Entonces el conjunto de soluciones de la ecuación para cualquiera es no vacío, débilmente cerrado y convexo [1] . ${\ estilo de visualización A \ en (X \ a X *)}$ $Au=f$ ${\ estilo de visualización f \ en X *}$

Notas

↑ Gaevsky, 1978 , pág. 95.

Literatura

Gaevsky H., Gröger K., Zacharias K. Ecuaciones de operadores no lineales y ecuaciones diferenciales de operadores. — M .: Mir, 1978. — 336 p.
Vainberg MM El método variacional y el método de montone operadores en la teoría de ecuaciones no lineales. — M .: Nauka, 1972. — 416 p.