Función monótona

Una función monótona es una función de una variable, definida en un determinado subconjunto de números reales, que no disminuye en todas partes (en su dominio de definición) o no aumenta en todas partes. Más precisamente, es una función cuyo incremento en no cambia de signo, es decir, siempre es no negativo o siempre no positivo [1] . Si, además, el incremento no es igual a cero, entonces la función se llama estrictamente monótona . $F$ ${\ estilo de visualización \ Delta f = f (x')-f (x)}$ ${\ estilo de visualización \ Delta x = (x'-x)> 0}$ $\Delta f$

Una función se llama creciente si el valor mayor del argumento no corresponde a menos (en otra terminología, más) valor de la función. Una función se llama decreciente si el valor mayor del argumento no corresponde a un valor mayor (en otra terminología, menor) de la función.

Definiciones

Sea una función entonces $f:M\subconjunto \mathbb{R} \a \mathbb{R} .$

una función se llama creciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)

una función se llama estrictamente creciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)

una función se llama decreciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)

una función se llama estrictamente decreciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)

Se dice que una función (estrictamente) creciente o decreciente es (estrictamente) monótona.

Otra terminología

A veces, los términos función creciente ( decreciente ) significan una función estrictamente creciente (decreciente) . Entonces se dice que una función no estrictamente creciente (decreciente) no es decreciente ( no creciente ) [2] :

Una función se llama creciente en algún intervalo si para dos puntos cualesquiera y este intervalo, tal que , . En otras palabras, un mayor valor del argumento corresponde a un mayor valor de la función. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})<f(x_{2})$
Una función se llama decreciente en algún intervalo si para dos puntos cualesquiera y este intervalo, tal que , . En otras palabras, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})>f(x_{2})$
Una función se llama no decreciente en algún intervalo si para dos puntos cualesquiera y este intervalo, tal que , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$
Una función se llama no creciente en algún intervalo si para dos puntos cualesquiera y este intervalo, como , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$
Las funciones crecientes y decrecientes se denominan funciones estrictamente monótonas , no decrecientes y no crecientes: monótonas .

Propiedades de las funciones monótonas

Una función monótona definida en el intervalo es medible con respecto a las sigma-álgebras de Borel .
Una función monótona definida en un intervalo cerrado está acotada . En particular, es Lebesgue integrable . $f:[a,b]\to \mathbb{R} ,$
Una función monótona sólo puede tener discontinuidades del primer tipo . En particular, el conjunto de puntos de discontinuidad es, como mucho, contable .
Una función monótona es diferenciable en casi todas partes con respecto a la medida de Lebesgue . $f:(a,b)\a \mathbb{R}$

Condiciones para la monotonicidad de una función

(Un criterio para la monotonicidad de una función que tiene una derivada en un intervalo) Sea la función continua y tenga una derivada en cada punto Entonces $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a, b),$ $x\en(a,b)$ $f'(x).$ $F$ no decrece si y solo si $(a, b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ $F$ no aumenta si y solo si $(a, b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$
(Condición suficiente para la estricta monotonicidad de una función que tiene una derivada en un intervalo) Sea la función continua y tenga una derivada en cada punto Entonces $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a, b),$ $x\en(a,b)$ $f'(x).$ si entonces estrictamente aumenta en $\para todo x\en (a,b)\;f'(x)>0,$ $F$ $(a, b);$ si entonces estrictamente decrece en $\para todo x\en (a,b)\;f'(x)<0,$ $F$ $(a,b).$

Lo contrario generalmente no es cierto. La derivada de una función estrictamente monótona puede desaparecer . Sin embargo, el conjunto de puntos donde la derivada no es igual a cero debe ser denso en el intervalo .Más precisamente, tenemos $(a,b).$

(Un criterio para la monotonicidad estricta de una función que tiene una derivada en un intervalo) Sea y en todas partes del intervalo la derivada esté definida Entonces estrictamente aumenta en el intervalo si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones: $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $f'(x).$ $F$ $(a, b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$
$\forall (c,d)\subset (a,b)\;\existe x\in (c,d)\;f'(x)>0.$

De manera similar, decrece estrictamente en un intervalo si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: $F$ $(a, b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$
$\forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.$

Ejemplos

La función es estrictamente creciente en toda la recta numérica , a pesar de que el punto es estacionario , es decir en este punto $f(x)=x^{3}$ $x=0$ $f'(x)=0$
La función es estrictamente creciente no sólo en un intervalo abierto , sino también en un intervalo cerrado . $f(x)=\sen x$ $(-\pi/2;\pi/2)$ $[-\pi/2;\pi/2]$
El exponente es estrictamente creciente en toda la recta numérica . $f(x)=e^{x}$
Una constante ni crece ni decrece simultáneamente en toda la recta numérica. $f(x)\equiv a,\;a\in {\mathbb {R}}$
La escalera de Cantor es un ejemplo de una función monótona continua que no es una constante pero tiene una derivada que es cero en casi todos los puntos.
La función de Minkowski es un ejemplo de función estrictamente creciente singular.

Variaciones y generalizaciones

Se dice que un mapeo entre espacios topológicos es monótono si cada punto tiene una imagen inversa conexa . [3] $f\dos puntos X\a Y$ $y\en y$ $f^{{-1}}(y)$

Notas

↑ Función monótona / Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 4. Continuidad de funciones // Análisis matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 146. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Collins, PJ (1971). Mapeos concordantes y la factorización concordante-disonante de una función continua arbitraria. Actas de la Sociedad Matemática Americana, 27(3), 587-591.