Función multiplicativa

Una función multiplicativa en teoría de números es una función aritmética tal que para cualquier número coprimo y , se cumple lo siguiente: $f(m)$ $m_1$ $m_2$

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)

f(1)=1

Cuando se cumple la primera condición, el requisito es equivalente al hecho de que la función no es idénticamente igual a cero. $f(1)=1$ $f(m)$

Las funciones para las que se cumple la condición de multiplicatividad para todos los naturales se denominan completamente multiplicativas . Una función es completamente multiplicativa si y sólo si la relación se cumple para cualquier número natural . $f(m)$ $m_{1},m_{2}$ $F$ $x, y$ $f(xy)=f(x)f(y)$

Se dice que una función multiplicativa es fuertemente multiplicativa si:

f(p^\alfa) = f(p)

para todos los primos y todos los naturales . $pags$ $\alfa$

Ejemplos:

función es el número de divisores naturales de natural ; $\tau(m)$ $metro$
la función es la suma de los divisores naturales de natural ; $\sigma(m)$ $metro$
función de Euler ; $\varfi(m)$
Función de Möbius . $\mamá)$
la función es fuertemente multiplicativa. $\frac{\varfi(m)}{m}$
la función de potencia es completamente multiplicativa. $f(m)=m^\alfa$

Construcción

Del teorema fundamental de la aritmética se deduce que uno puede establecer arbitrariamente los valores de una función multiplicativa en números primos y sus potencias, y también determinar que todos los demás valores de la función resultante se determinan a partir de la propiedad de multiplicatividad. $f(n)$ ${\ estilo de visualización f (1) = 1;}$

El producto de cualquier función multiplicativa también es una función multiplicativa.

Si es una función multiplicativa, entonces la función $f(m)$

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

también será multiplicativo. Por el contrario, si la función definida por esta relación es multiplicativa, entonces la función original también es multiplicativa. $gramo(m)$ $f(m)$

Además, si y son funciones multiplicativas, entonces su convolución de Dirichlet también será multiplicativa : $f(m)$ $gramo(m)$

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Literatura

Graham R., Knut D., Patashnik O. Matemáticas concretas. - M. : "Mir", 1998. - 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Nesterenko Yu. V. Teoría de números: un libro de texto para estudiantes. más alto libro de texto establecimientos - M. : Centro Editorial "Academia", 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .