Dirichlet vintage

La convolución de Dirichlet es una operación binaria definida para funciones aritméticas utilizadas en teoría de números , introducida y estudiada por el matemático alemán Dirichlet .

Definición

La convolución de Dirichlet de dos funciones aritméticas y es una función aritmética definida de la siguiente manera: $f*g$ $F$ $gramo$

(f*g)(n)=\sum_{{d\mid n}}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum_{{ab=n }}f(a)g(b)

donde la suma se toma sobre todos los divisores naturales del argumento , o, de manera equivalente, sobre todos los pares de números naturales cuyo producto es igual a . $d$ $norte$ $(a, b)$ $norte$

Propiedades

El conjunto de funciones aritméticas por suma puntual (es decir, la función está determinada por la relación ) y la convolución de Dirichlet forman un anillo conmutativo , llamado anillo de Dirichlet . La unidad del anillo es la función definida como , si y , si . Los elementos invertibles son todas funciones tales que . $f + g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\épsilon(n)=1$ $n=1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $F$ $f(1)\neq 0$

En particular, la convolución de Dirichlet es [1] asociativa :

{\ estilo de visualización (f*g)*h=f*(g*h)}

distributivo por adición:

{\ estilo de visualización f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f}

conmutativo :

{\ estilo de visualización f*g=g*f}

y tiene un elemento neutro :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa, y cada función multiplicativa tiene una inversión multiplicativa de Dirichlet. Si es una función completamente multiplicativa , entonces , donde la multiplicación de funciones se define como su composición puntual. La convolución de dos funciones completamente multiplicativas no siempre es completamente multiplicativa. $F$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

El atractivo de Dirichlet

Para cada función , para la cual existe una función tal que ( es la unidad del anillo en la multiplicación), se llama inversión de Dirichlet de la función . $F$ $f(1)\neq 0$ $gramo$ $f*g=\épsilon$ $\epsilon$ $F$

La inversión de Dirichlet de la función de identidad es la función de Möbius , por lo que se obtienen muchos resultados, en particular: $1(n)=1$

g=f*1\Flecha izquierda-derecha f=g*\mu

( fórmula de inversión de Möbius ),

{\ estilo de visualización \ lambda * | \ mu | = \ épsilon}

, donde está la función de Liouville ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

donde es el conjunto de cuadrados.

S=\{1;4;9;16;...\}

Relación con la función Divisores : ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$

\sigma _{k}(n)=\sum \limits _{{d\mid n}}d^{k}

sumando la -ésima potencia de los divisores de un número, una serie de propiedades notables también están asociadas con la convolución: $k$

{\ estilo de visualización \ sigma _ {1} = \ nombre del operador {Id} * 1}

( es una función constante ),

\nombre del operador {Id}

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {Id} (n) = n}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {k} = \ nombre de operador {Id} _ {k} * 1}

( -ésima potencia del argumento: ),

\nombre del operador {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operatorname {Id}_{k}(n)=n^{k))

{\ estilo de visualización \ tau = 1 * 1}

(aquí está el número de divisores del número ),

\tau=\sigma _{0}

norte

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {Id} = \ sigma _ {1} * \ mu}

1=\tau*\mu

\tau^{3}*1=(\tau*1)^{2}

Relación con la función de Euler : $\varphi$

{\ estilo de visualización \ varphi * 1 = \ nombre de operador {Id}}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {1} = \ varphi * \ tau}

Relación con Jordan totient : ${\ Displaystyle J_ {k}}$

J_{k}*1=\nombre del operador {Id}

{\displaystyle (\operatorname {Id}_{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Relación con la función de Mangoldt : $\lambda$

{\ estilo de visualización \ Lambda * 1 = \ ln}

El atractivo de Dirichlet

Si se da una función aritmética , entonces su inversión de Dirichlet se puede calcular recursivamente (más precisamente, cada valor se expresa en términos de para ) a través de la definición de la inversión de Dirichlet. $F$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $gramo(m)$ $m<n$

Para - definido en $n=1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\neq 0$

Y en general para todos : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum_{\stackrel {d\mid n}{d<n}}f\left({\frac {n} {d}}\right)g(d)

$g(n)$ definido si . Por tanto, una función tiene una inversión de Dirichlet si y sólo si . $f(1)\neq 0$ $F$ $f(1)\neq 0$

Rangos de Dirichlet

Para cualquier función aritmética , su serie de Dirichlet se puede definir en términos de la función generadora como $F$

\operatorname {DG}(f;s)=\sum \limits _{{n=1}}^{{+\infty}}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

para todos los argumentos tan complejos para los que converge la serie. El producto de la serie de Dirichlet está relacionado con su convolución de Dirichlet de la siguiente manera: $s$

\nombre del operador {DG}(f;s)\nombre del operador {DG}(g;s)=\nombre del operador {DG}(f*g;s)

para todos los que ambas series de la izquierda convergen , y al menos una converge absolutamente (en este caso, la convergencia habitual de ambas series de la izquierda no implica la convergencia de la serie de la derecha). Esta relación recuerda estructuralmente al teorema de convergencia de las series de Fourier (donde el papel de la transformada de Fourier lo desempeña la serie de Dirichlet). $s$

Notas

↑ Chen, 2009 , La evidencia se presenta en el capítulo 2.

Enlaces

Chan Heng Huat. Teoría analítica de números para estudiantes de pregrado . - World Scientific Publishing Company , 2009. - ISBN 981-4271-36-5 .
Hugh L Montgomery; Robert C Vaughan. Teoría multiplicativa de números I. Teoría clásica (inglés) . -Cambridge: Cambridge University Press , 2007. -Vol. 97. - P. 38. - (Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas). - ISBN 0-521-84903-9 .
Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius, pp. 13-23.
Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero, pp. 66-80.
El número de divisores unitarios de un número entero , pp. 879-880.
Sobre los divisores infinitorios de los enteros, pp. 395-411.
Funciones aritméticas asociadas a infinitos divisores de un entero, pp. 373-383.
Sandor, Jozsef; Bergé, Antal. La función de Möbius: generalizaciones y extensiones // Adv . Semental. Contemp. Matemáticas. (Kyungshang): diario. - 2003. - vol. 6 _ - pág. 77-128 .
Finch, Steven Unitarism and Infinitarism (enlace inaccesible) (2004). Archivado desde el original el 1 de septiembre de 2006. (indefinido)