Independencia (teoría de la probabilidad)

En la teoría de la probabilidad, dos eventos aleatorios se denominan independientes si la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. De manera similar, dos variables aleatorias se llaman independientes si el valor conocido de una de ellas no da información sobre la otra.

Eventos independientes

Supondremos que se nos da un espacio de probabilidad fijo . $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$

Definición 1. Dos eventos son independientes si $A,B\in {\mathcal {F}}$

la ocurrencia de un evento no cambia la probabilidad de ocurrencia del evento .

A

B

Observación 1. En el caso de que la probabilidad de un evento, digamos , sea distinta de cero, es decir , la definición de independencia es equivalente a: $B$ $\mathbb{P} (B)>0$

\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A),

es decir, la probabilidad condicional del evento bajo la condición es igual a la probabilidad incondicional del evento . $A$ $B$ $A$

Definición 2. Sea una familia (finita o infinita) de eventos aleatorios , donde es un conjunto índice arbitrario . Entonces estos eventos son independientes por parejas si dos eventos cualesquiera de esta familia son independientes, es decir $\{A_{i}\}_{i\en I}\subconjunto {\mathcal {F}}$ $yo$

\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\neq j.

Definición 3. Sea una familia (finita o infinita) de sucesos aleatorios . Entonces estos eventos son conjuntamente independientes si, para cualquier conjunto finito de estos eventos, se cumple lo siguiente: $\{A_{i}\}_{i\en I}\subconjunto {\mathcal {F}}$ $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$

\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{N}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \mathbb {Dolor}}).

Observación 2. La independencia conjunta obviamente implica independencia por pares. Lo contrario generalmente no es cierto.

Ejemplo 1. Que se lancen tres monedas balanceadas. Definamos eventos de la siguiente manera:

$A_{1}$ : las monedas 1 y 2 cayeron en el mismo lado;
$A_{2}$ : las monedas 2 y 3 cayeron del mismo lado;
$A_{3}$ : las monedas 1 y 3 cayeron del mismo lado;

Es fácil comprobar que dos eventos cualesquiera de este conjunto son independientes. Sin embargo, los tres son colectivamente dependientes, porque sabiendo, por ejemplo, que los hechos sucedieron , sabemos exactamente lo que también sucedió. Más formalmente: . Por otro lado, . $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2} }=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})\quad \forall i\neq j$ $\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{4}}\neq {\frac {1}{2}}\cdot {\ fracción {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2})\cdot \mathbb { P} (A_{3})$

Sigma-álgebras independientes

Definición 4. Sean dos sigma-álgebras en el mismo espacio de probabilidad. Se llaman independientes si alguno de sus representantes es independiente entre sí, es decir: ${\mathcal {A}}_{1},\;{\mathcal {A}}_{2}\subconjunto {\mathcal {F}}$

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1 }\in {\mathcal {A}}_{1},\;A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}

Si en lugar de dos hay una familia completa (posiblemente infinita) de sigma-álgebras, entonces la independencia conjunta y por pares se define para ella de manera obvia.

Variables aleatorias independientes

Definiciones

Definición 5. Sea dada una familia de variables aleatorias tal que . Entonces, estas variables aleatorias son independientes por pares si las sigma-álgebras generadas por ellas son independientes por pares . Las variables aleatorias son mutuamente independientes si las sigma-álgebras generadas por ellas lo son. $(X_{i})_{i\en I}$ $X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I$ $\{\sigma (X_{i})\}_{i\en I}$

Cabe señalar que en la práctica, a menos que se deduzca del contexto, la independencia se entiende como independencia en conjunto .

La definición dada anteriormente es equivalente a cualquier otra de las siguientes. Dos variables aleatorias son independientes si y solo si : $X,\;Y$

Para cualquier : $A,\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

\mathbb {P} (X\en A,\;Y\en B)=\mathbb {P} (X\en A)\cdot \mathbb {P} (Y\en B)=\mathbb { P} (\left\{\omega :X(\omega )\in A,~\omega \in \Omega \right\})\cdot \mathbb {P} (\left\{\omega :Y(\omega )\en B,~\omega\en\Omega\derecha\}).

Para cualquier función de Borel, las variables aleatorias son independientes. $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(X),\;g(Y)$
Para cualquier función de Borel restringida : $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\mathbb {E} \left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \left[g(Y)\ Correcto].

Propiedades de las variables aleatorias independientes

Sea la distribución de un vector aleatorio , sea la distribución y sea la distribución de . Entonces son independientes si y solo si $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $(X,\;Y)$ $\mathbb{P} ^{X}$ $X$ $\mathbb{P} ^{Y}$ $Y$ $X,\;Y$

\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y},

donde denota el producto (directo) de las medidas . $\otimes$

Sean las funciones de distribución acumulada, respectivamente. Entonces son independientes si y solo si $F_{X,\;Y},\;F_{X},\;F_{Y}$ $(X,\;Y),\;X,\;Y$ $X,\;Y$

F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y).

Deje que las variables aleatorias sean discretas . Entonces son independientes si y solo si $X,\;Y$

\mathbb {P} (X=i,\;Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j).

Sean las variables aleatorias juntas absolutamente continuas, es decir, su distribución conjunta tiene una densidad . Entonces son independientes si y solo si $X,\;Y$ $f_{{X,\;Y}}(x,\;y)$

f_{X,\;Y}(x,\;y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,\;y)\in \mathbb {R } ^{2}

donde son las densidades de las variables aleatorias y, respectivamente. $f_{X}(x),\;f_{Y}(y)$ $X$ $Y$

Deje que las variables aleatorias sean independientes y tengan una varianza finita . Entonces no están correlacionados . $X,\;Y$
Cualquier colección de variables aleatorias que son independientes en la población es independiente por pares, pero no todas las colecciones independientes por pares son independientes en la población. Esto último se demuestra con el ejemplo de lanzar una moneda dado por S. N. Bernstein.

independencia n-aria

En el caso general, para cualquiera se puede hablar de independencia -aria. La idea es similar: una familia de variables aleatorias es -arno independiente si cualquier subconjunto de su cardinalidad es colectivamente independiente. La independencia -aria se ha utilizado en informática teórica para probar el teorema del problema MAXEkSAT . $n\geqslant 2$ $norte$ $norte$ $norte$ $norte$

Véase también

Enlaces

Russel, Stuart. Inteligencia artificial: un enfoque moderno / Stuart Russell, Peter Norvig. - Prentice Hall , 2002. - Pág . 478 . — ISBN 0-13-790395-2 .

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