En la teoría de la probabilidad, dos eventos aleatorios se denominan independientes si la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. De manera similar, dos variables aleatorias se llaman independientes si el valor conocido de una de ellas no da información sobre la otra.
Supondremos que se nos da un espacio de probabilidad fijo .
Definición 1. Dos eventos son independientes si
la ocurrencia de un evento no cambia la probabilidad de ocurrencia del evento .Observación 1. En el caso de que la probabilidad de un evento, digamos , sea distinta de cero, es decir , la definición de independencia es equivalente a:
es decir, la probabilidad condicional del evento bajo la condición es igual a la probabilidad incondicional del evento .
Definición 2. Sea una familia (finita o infinita) de eventos aleatorios , donde es un conjunto índice arbitrario . Entonces estos eventos son independientes por parejas si dos eventos cualesquiera de esta familia son independientes, es decir
Definición 3. Sea una familia (finita o infinita) de sucesos aleatorios . Entonces estos eventos son conjuntamente independientes si, para cualquier conjunto finito de estos eventos, se cumple lo siguiente:
Observación 2. La independencia conjunta obviamente implica independencia por pares. Lo contrario generalmente no es cierto.
Ejemplo 1. Que se lancen tres monedas balanceadas. Definamos eventos de la siguiente manera:
Es fácil comprobar que dos eventos cualesquiera de este conjunto son independientes. Sin embargo, los tres son colectivamente dependientes, porque sabiendo, por ejemplo, que los hechos sucedieron , sabemos exactamente lo que también sucedió. Más formalmente: . Por otro lado, .
Definición 4. Sean dos sigma-álgebras en el mismo espacio de probabilidad. Se llaman independientes si alguno de sus representantes es independiente entre sí, es decir:
.Si en lugar de dos hay una familia completa (posiblemente infinita) de sigma-álgebras, entonces la independencia conjunta y por pares se define para ella de manera obvia.
Definición 5. Sea dada una familia de variables aleatorias tal que . Entonces, estas variables aleatorias son independientes por pares si las sigma-álgebras generadas por ellas son independientes por pares . Las variables aleatorias son mutuamente independientes si las sigma-álgebras generadas por ellas lo son.
Cabe señalar que en la práctica, a menos que se deduzca del contexto, la independencia se entiende como independencia en conjunto .
La definición dada anteriormente es equivalente a cualquier otra de las siguientes. Dos variables aleatorias son independientes si y solo si :
donde denota el producto (directo) de las medidas .
donde son las densidades de las variables aleatorias y, respectivamente.
En el caso general, para cualquiera se puede hablar de independencia -aria. La idea es similar: una familia de variables aleatorias es -arno independiente si cualquier subconjunto de su cardinalidad es colectivamente independiente. La independencia -aria se ha utilizado en informática teórica para probar el teorema del problema MAXEkSAT .
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