Divulgación de incertidumbres

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Revelación de incertidumbre : métodos para calcular los límites de las funciones dadas por fórmulas que, como resultado de la sustitución formal de los valores límite del argumento en ellas, pierden su significado, es decir, se convierten en expresiones como:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty}{\infty}}\right)

\izquierda({\frac{0}{0}}\derecha)

\left(0\cdot \infty \right)

{\ estilo de visualización \ izquierda (0^{0} \ derecha)}

\left(\infty^{0}\right)

\left(1^{\infty}\right)

(Aquí hay un valor infinitamente pequeño , es un valor infinitamente grande , 1 es una expresión infinitamente cercana al número 1) ${\ estilo de texto 0}$ $\infty$

por lo que es imposible juzgar si los límites deseados existen o no, por no hablar de encontrar sus valores, si es que existen.

El método más poderoso es la regla de L'Hopital , sin embargo, no permite calcular el límite en todos los casos . Además, es directamente aplicable solo al segundo y tercero de los tipos de incertidumbre enumerados, es decir, las relaciones, y para revelar otros tipos, primero deben reducirse a uno de estos.

Asimismo, para el cálculo de los límites se suele utilizar la expansión de las expresiones incluidas en la incertidumbre objeto de estudio en una serie de Taylor en las proximidades del punto límite . Para revelar las incertidumbres de los tipos , , utilizan el siguiente método: encuentran el límite del logaritmo (natural) de la expresión que contiene la incertidumbre dada. Como resultado, el tipo de incertidumbre cambia. Después de encontrar el límite , se le quita el exponente . $\izquierda(~0^{0}\derecha)$ $\left(1^{\infty}\right)$ $\left(\infty ^{0}\right)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty)} \Correcto)

\left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ Correcto)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\ Correcto)

El siguiente algoritmo se utiliza para resolver las ambigüedades de tipo : ${\frac {\infty} {\infty}}$

Identificación del grado más alto de una variable;
Divide por esta variable tanto el numerador como el denominador.

Para resolver las ambigüedades de tipo, existe el siguiente algoritmo: $\izquierda({\frac{0}{0}}\derecha)$

Factorización del numerador y denominador;
Reducción de fracciones.

Para resolver las ambigüedades de tipo, en ocasiones es conveniente aplicar la siguiente transformación: $(\infty -\infty)$

Sea y ;

f(x){\xrightarrow {x\a}}\infty

g(x){\xrightarrow {x\a}}\infty

\lim_{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim_{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)

Este tipo de incertidumbre se puede resolver mediante expansiones asintóticas del minuendo y el sustraendo, mientras que los términos infinitamente grandes del mismo orden deben eliminarse.

Los límites notables y sus consecuencias también se aplican cuando se descubren incertidumbres .

Ejemplo

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ es un ejemplo [1] de incertidumbre de la forma . Según la regla de L'Hopital . La segunda forma es sumando y restando en el numerador y aplicando dos veces el teorema de Lagrange , a las funciones y respectivamente: $\izquierda({\frac{0}{0}}\derecha)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-hacha^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ ${\ estilo de visualización a^{a}}$ $un ^ {x}$ $x^{un}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- anuncio^{a-1}$

aquí c, d se encuentran entre ayx, por lo que tienden a a como x tiende a a, por lo que obtenemos el mismo límite que en el primer método.

Notas

↑ Demidovich B.P. Problema No. 1358 // Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático. - 7ª ed. - M. : Nauka , 1969. - S. 136.

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