Límites notables

Los límites notables son términos utilizados en los libros de texto soviéticos y rusos sobre análisis matemático para denotar dos identidades matemáticas bien conocidas con la toma del límite :

Primer límite destacable: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Segundo límite destacable: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Primer límite notable

$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Prueba:

Considere los límites unilaterales y demuestre que son iguales a 1. $\lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}$ $\lim _{x\to {\displaystyle -}0}{\frac {\sin x}{x}}$

Consideremos el caso . Grafiquemos este ángulo en el círculo unitario de modo que su vértice coincida con el origen de coordenadas, y un lado coincida con el eje . Sea el punto de intersección del segundo lado del ángulo con la circunferencia unitaria, y el punto con la tangente a esta circunferencia en el punto . Punto es la proyección de un punto sobre el eje . $x\in \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)$ $BUEY$ $k$ $L$ ${\ estilo de visualización A = \ izquierda (1; 0 \ derecha)}$ $H$ $k$ $BUEY$

Es obvio que:

{\displaystyle S_{\triángulo OKA}<S_{sectKOA}<S_{\triángulo OAL))

(una)

(dónde está el área del sector ) $S_{sectKOA}$ $KOA$

porque : $\left|KH\right|=\sen x,\,\left|LA\right|=\operatorname {tg} x$

S_{\triangle OKA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|KH\right|={\frac {1}{2}}\ cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2))

S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|^{2}\cdot x={\frac {x}{2}}

S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|LA\right|={\frac {\operatorname {tg} x} {2}}

Sustituyendo en (1), obtenemos:

{\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}

Desde en : $x\to +0:\sen x>0,\,x>0,\,\operatorname {tg} x>0$

{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}

Multiplicamos por : $\sin x$

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1

Vamos al límite:

\lim _{x\to +0}\cos x\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1

1\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1

\lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}=1

Encontremos el límite lateral izquierdo (como la función es par, esto no es necesario, basta probar esto para el límite derecho):

\lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\begin{matriz}u=-x\\x=-u\\u\to +0\\x\to -0\end{matriz}}\right]=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(-u)}{-u}}=\lim_{ u\to +0}{\frac {-\sin(u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(u)}{u}}=1

Los límites unilaterales derecho e izquierdo existen y son iguales a 1, lo que significa que el límite mismo es igual a 1.

Consecuencias:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsen} x}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {1-\cos x}{{\frac {x^{2}}{2}}}}=1$

Prueba de consecuencias

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x\cos x }}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim_{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\ punto c 1 = 1

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsen} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arcsen} x\\x=\ sin u\\u\a 0\\x\a 0\end{matriz}}\right]=\lim _{u\a 0}{\frac {u}{\sin u}}=1

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arctg} x\\x=\ nombre del operador {tg} u\\u\to 0\\x\to 0\end{matriz}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\nombre del operador {tg} u} }=1

\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot \sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}=\lim _ {{\frac {x}{2}}\a 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right) ^{2}=1^{2}=1

El segundo límite notable

$\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ o $\lim _{{x\to 0}}\left(1+x\right)^{{1/x}}=e$

Prueba de la existencia del segundo límite notable:

Prueba para valores naturales de x

$\blacktriangleleft$ Primero demostremos el teorema para el caso de la sucesión $x_{{n}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n};\ n\in {\mathbb N}$

Según la fórmula del binomio de Newton : $(a+b)^{n}=a^{n}~+~{\frac {n}{1}}\cdot a^{{n-1}}\cdot b~+~{\frac {n (n-1)}{1\cdot 2}}\cdot a^{{n-2}}\cdot b^{2}~+~...~+~{\frac {n(n-1) (n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n))\cdot b^{n};\ n\in {\ matematicas N}$

Suponiendo que obtenemos: $a=1;~b={\frac {1}{n}}$

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1~+~{\frac {n}{1}}\cdot {\frac {1}{n}}~ +~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}~+~{\frac {n(n-1)( n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}~+~...~+~{\frac {n(n-1) (n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot {\frac {1}{n^{n} }}=

=1~+~1~+~{\frac {1}{1\cdot 2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)~+~{\ fracción {1}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n} }\right)~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot \left(1-{\frac {1} {n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot ...\cdot \left(1-{\frac {n-1}{n} }\Correcto)

(una)

A medida que aumenta el número de términos positivos en el lado derecho de la igualdad (1), el número aumenta. Además, a medida que aumenta el número, el número disminuye, por lo que aumentan los valores. Por lo tanto, la sucesión es creciente , mientras que $norte$ $norte$ ${\ fracción {1}{n}}$ $\left(1-{\frac {1}{n}}\right),\left(1-{\frac {2}{n}}\right),...$ $\{x_{{n}}\}=\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\};\ n\in {\mathbb N }$

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\geq 2,n\in \mathbb {N}

(2).

Demostremos que está acotado. Reemplazamos cada paréntesis del lado derecho de la igualdad por uno, el lado derecho aumenta, obtenemos la desigualdad

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\ cdot 2\cdot 3}}~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}

Reforzamos la desigualdad resultante, reemplazamos 3,4,5, ..., de pie en los denominadores de fracciones, con el número 2:

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^ {2}}}+...+{\frac{1}{2^{{n-1}}}}\derecha)

Encontramos la suma entre paréntesis usando la fórmula para la suma de los miembros de una progresión geométrica:

1+{\ fracción {1}{2}}+{\ fracción {1}{2^{2}}}+...+{\ fracción {1}{2^{{n-1}}}} ={\frac {1\cdot \left(1-({\frac {1}{2)))^{n}\right)}{1-{\frac {1}{2))))=2 \cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)<2

Por lo tanto (3). $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+2=3$

Entonces, la sucesión está acotada por arriba, mientras que las desigualdades (2) y (3) se satisfacen: . $\forall n\in {\mathbb N}$ $2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<3$

Por lo tanto, con base en el teorema de Weierstrass (un criterio para la convergencia de una secuencia), la secuencia es monótonamente creciente y acotada, lo que significa que tiene un límite, denotado por la letra e . Aquellos. $x_{{n}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\ n\in {\mathbb N}$ $\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$ $\blacktriangleright$

$\blacktriangleleft$ Sabiendo que el segundo límite notable es verdadero para valores naturales de x, demostramos el segundo límite notable para x real, es decir, demostramos que . Considere dos casos: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e;\ x\in {\mathbb R}$

1. Deja . Cada valor de x está encerrado entre dos enteros positivos: , donde es la parte entera de x. $x\rightarrow +\infty$ $n\leqslant x<n+1$ ${\ estilo de visualización n = [x]}$

De esto se sigue: por lo tanto

{\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{x}}\leqslant {\frac {1}{n}}~~\Longleftrightarrow ~~1+{\frac {1}{ n+1}}<1+{\frac {1}{x}}\leqslant 1+{\frac {1}{n}}

\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x} \leqslant \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}

. Si , entonces . Por tanto, según el límite , tenemos:

x\rightarrow +\infty

n \rightarrow \infty

\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e

\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}={\frac {\lim \limits_{{n\ a \infty }}(1+{\frac {1}{n+1}})^{{n+1}}}{\lim \limits_{{n\to \infty }}\left(1+ {\frac {1}{n+1}}\right)}}={\frac {e}{1}}=e

\lim _{{n\hasta \infty}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{{n+1}}=\lim _{{{n\to \infty} }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot \lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n }}\right)=e\cdot 1=e

. Sobre la base (sobre el límite de una función intermedia) de la existencia de límites .

\lim _{{x\to +\infty}}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e

2 . deja _ Hagamos una sustitución , entonces $x\to -\infty$ $-x=t$

\lim _{{x\to -\infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{{{t\to +\infty }}\ izquierda(1-{\frac {1}{t}}\right)^{{-t}}=\lim _{{t\to +\infty }}\left({\frac {t}{t- 1}}\right)^{t}=\lim _{{{t\to +\infty}}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{t}=

=\lim _{{t\to +\infty}}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{{t-1}}\cdot \lim _{{t \to +\infty }}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{1}=e\cdot 1=e

Obviamente, estos dos casos implican que para x real. $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ $\blacktriangleright$

Consecuencias

$\lim _{{u\to 0}}(1+u)^{{\frac {1}{u}}}=e$
$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=1$ para , $a>0$ ${\ estilo de visualización a \ neq 1}$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=1$

Pruebas de consecuencias

$\lim _{{u\to 0}}(1+u)^{{\frac {1}{u}}}=\left[{\begin{matriz}u=1/x\\x\to \ infinito \end{matriz}}\right]=\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
$\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=\left[{\begin{matriz}u=x/k\ \x=ku\\u\to \infty \\x\to \infty \end{matriz}}\right]=\lim _{{u\to \infty }}\left(1+{\frac {1 }{u}}\right)^{{ku}}=\left(\lim _{{u\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{u}}\right)^{ u}\right)^{k}=e^{k}$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\lim_{{x\to 0}}{\frac {1}{x}}\ ln(1+x)=\lim _{{x\to 0}}\ln((1+x)^{{\frac {1}{x}}})=\ln e=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\left[{\begin{matriz}u=e^{x}-1\\x= \ln(1+u)\\x\a 0\\u\a 0\end{matriz}}\right]=\lim _{{u\a 0}}{\frac {u}{\ln( 1+u)}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=\lim_{{x\to 0}}{\frac {e^{{ \ln(a^{x})}}-1}{x\ln a}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{x\ln a}}-1} {x\ln a}}=\left[{\begin{matriz}u=x\ln a\\u\to 0\\x\to 0\end{matriz}}\right]=\lim _{{{ u\to 0}}{\frac {e^{u}-1}{u}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=\lim_{{x\to 0}}{\frac { e^{{\alpha \ln(1+x)}}-1}{\alpha x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{\alpha \ln(1 +x)))-1}{\alpha \ln(1+x)}}\cdot \lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=$

=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{\alpha \ln(1+x)))-1}{\alpha \ln(1+x)))\cdot 1= \left[{\begin{matriz}u=\alpha \ln(1+x)\\x\to 0\\u\to 0\end{matriz}}\right]=\lim _{{u\to 0}}{\frac{e^{u}-1}{u}}=1

Aplicación

Los límites notables y sus consecuencias se utilizan en la revelación de incertidumbres para encontrar otros límites.

Véase también

Lista de límites

Literatura

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático (en dos partes) . - M. : Fizmatlit, 2005. - S. 24 -25. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Enlaces

Límites notables en Wikia ciencia Matemáticas Archivado el 22 de septiembre de 2018 en Wayback Machine .