Infinitamente pequeño e infinitamente grande

Infinitamente pequeño : una función o secuencia numérica que tiende a ( cuyo límite es igual a) cero .

Infinitamente grande : una función o secuencia numérica que tiende a (cuyo límite es) el infinito de un cierto signo.

En el análisis no estándar , los infinitesimales y los infinitesimales no se definen como secuencias o variables, sino como un tipo especial de número.

Cálculo de infinitesimales y grandes

Cálculo infinitesimal : cálculos realizados con cantidades infinitesimales, en los que el resultado derivado se considera como una suma infinita de infinitesimales. El cálculo de infinitesimales es un concepto general para el cálculo diferencial e integral , que forman la base de las matemáticas superiores modernas . El concepto de cantidad infinitesimal está estrechamente relacionado con el concepto de límite.

Infinitamente pequeño

Una secuencia se llama infinitesimal si . Por ejemplo, una secuencia de números es infinitamente pequeña. $un$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac{1}{n}}$

Una función se llama infinitesimal en la vecindad de un punto si . $x_{0}$ $\lim \limits _{{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

Se dice que una función es infinitesimal en el infinito si . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

También infinitamente pequeña es una función que es la diferencia entre una función y su límite, es decir, si , entonces , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alfa (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Hacemos hincapié en que un valor infinitesimal debe entenderse como un valor variable (función), que solo en el proceso de su cambio [al esforzarse por (de )] se vuelve menor que un número arbitrario ( ). Por lo tanto, por ejemplo, una afirmación como "una millonésima es un valor infinitesimal" no es cierta: no tiene sentido decir sobre un número [valor absoluto] que es infinitamente pequeño. [una] $X$ $a$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Infinitamente grande

En todas las fórmulas a continuación, el infinito a la derecha de la igualdad implica un cierto signo (ya sea "más" o "menos"). Es decir, por ejemplo, una función que es ilimitada en ambos lados no es infinitamente grande para . $x\sin x$ $x\to +\infty$

Una secuencia se llama infinitamente grande si . $un$ $\lim \limits _{{{n\to \infty}}a_{n}=\infty$

Se dice que una función es infinitamente grande en una vecindad del punto si . $x_{0}$ $\lim \limits _{{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Se dice que la función es infinitamente grande en el infinito si . $\lim \limits _{{x\to +\infty}}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Como en el caso de los infinitesimales, debe tenerse en cuenta que ningún valor único de una cantidad infinitamente grande puede llamarse "infinitamente grande": una cantidad infinitamente grande es una función que puede volverse más grande que un número tomado arbitrariamente solo en el proceso de su conversión. cambiar

Propiedades de los infinitesimales

La suma algebraica de un número finito de funciones infinitamente pequeñas es una función infinitamente pequeña.
El producto de infinitesimales es infinitesimal.
El producto de una sucesión infinitesimal por otra acotada es infinitesimal. Como consecuencia, el producto de un infinitesimal por una constante es infinitesimal.
Si es una secuencia infinitesimal que conserva el signo, entonces es una secuencia infinitamente grande. $un$ $b_{n}={\dfrac{1}{a_{n}}}$

Comparación de infinitesimales

Definiciones

Supongamos que tenemos infinitesimales para el mismo valor y (o, lo que no es importante para la definición, secuencias infinitesimales). $x \ a un$ $\alfa(x)$ $\beta(x)$

Si , entonces es un orden infinitesimal más alto de pequeñez que . designar o . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alfa$ $\beta =o(\alfa )$ $\beta\prec\alfa$
Si , entonces es un infinitesimal de menor orden de pequeñez que . En consecuencia o . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alfa$ $\alfa =o(\beta)$ $\alpha\prec\beta$
Si (el límite es finito y no igual a 0), entonces y son cantidades infinitesimales del mismo orden de pequeñez . Esto se denota como o como ejecución concurrente de relaciones y . Cabe señalar que en algunas fuentes se puede encontrar una designación cuando la igualdad de órdenes se escribe en forma de una sola relación "gran o", que es un uso libre de este símbolo. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha\asymp\beta$ $\beta =O(\alfa )$ $\alfa =O(\beta)$
Si (el límite es finito y no igual a 0), entonces una cantidad infinitesimal tiene el orden de pequeñez con respecto a una infinitesimal . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta}{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $metro$ $\alfa$

Para calcular dichos límites, es conveniente utilizar la regla de L'Hospital .

Ejemplos de comparación

Porque , el valor tiene el orden más alto de pequeñez con respecto a , ya que . Por otro lado, tiene el orden de pequeñez más bajo con respecto a , ya que . ${x\a 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Usando los símbolos O , los resultados obtenidos se pueden escribir de la siguiente forma .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits_{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits_{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 {1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ es decir, para funciones y son cantidades infinitesimales del mismo orden. $x\a 0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

En este caso, las entradas y

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

En , una cantidad infinitesimal tiene un tercer orden de pequeñez con respecto a , ya que , infinitesimal es de segundo orden, infinitesimal es del orden de 0,5. ${x\a 0}$ $2x^{3}$ $X$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Valores equivalentes

Definición

Si , entonces cantidades infinitesimales o infinitamente grandes y se denominan equivalentes (denotadas como ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta}{\alpha}}=1$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

Obviamente, las cantidades equivalentes son un caso especial de cantidades infinitamente pequeñas (infinitamente grandes) del mismo orden de pequeñez.

Para , se cumplen las siguientes relaciones de equivalencia (como consecuencia de los llamados límites notables ): $\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , donde , ; $a>0$ ${\ estilo de visualización a \ neq 1}$
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , donde ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , entonces usa la expresión:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\approx {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, donde .

\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0

Teorema

El límite del cociente (razón) de dos cantidades infinitesimales o infinitamente grandes no cambiará si una de ellas (o ambas) se reemplaza por un valor equivalente .

Este teorema es de importancia práctica para encontrar límites (ver ejemplo).

Ejemplos de uso

Encontrar $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Sustituyendo por el valor equivalente , obtenemos

\pecado 2x

2x

\lim \limits_{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits_{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

Encontrar $\lim \limits _{{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Desde cuando llegamos

\sen(4\cos x)\thicksim {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits_{{x\to {\frac {\pi}{2})}){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits_{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Calcula _ ${\ sqrt {1{,}2}}$

Usando la fórmula :, mientras usamos una calculadora (cálculos más precisos), obtuvimos:, por lo tanto, el error fue de 0.005 (menos del 1%), es decir, el método es útil, debido a su simplicidad, con una estimación aproximada de la aritmética . raíces cercanas a una.

{\sqrt {1{,}2}}\aprox. 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\aproximadamente 1{,}095

Historia

El concepto de "infinitamente pequeño" se discutió en la antigüedad en relación con el concepto de átomos indivisibles, pero no entró en las matemáticas clásicas. Se revivió nuevamente con la aparición en el siglo XVI del "método de los indivisibles" : la división de la figura en estudio en secciones infinitesimales.

La algebraización del cálculo infinitesimal tuvo lugar en el siglo XVII. Comenzaron a definirse como valores numéricos que son menores que cualquier valor finito (positivo) y, sin embargo, no iguales a cero. El arte del análisis consistía en trazar una relación que contuviera infinitesimales ( diferenciales ) y luego en integrarla .

El concepto de infinitesimales fue muy criticado por los matemáticos de la vieja escuela . Michel Rolle escribió que el nuevo cálculo es " un conjunto de errores ingeniosos "; Voltaire señaló con veneno que este cálculo es el arte de calcular y medir con precisión cosas cuya existencia no se puede probar. Incluso Huygens admitió que no entendía el significado de los diferenciales de orden superior .

Las disputas en la Academia de Ciencias de París sobre las cuestiones de la justificación del análisis se volvieron tan escandalosas que la Academia una vez prohibió a sus miembros hablar sobre este tema (esto se refería principalmente a Rolle y Varignon). En 1706, Rolle retiró públicamente sus objeciones, pero las discusiones continuaron.

En 1734, el famoso filósofo inglés, el obispo George Berkeley , publicó un folleto sensacional, conocido bajo el título abreviado "El analista ". Su título completo es: " Analista o razonamiento dirigido a un matemático incrédulo, donde se investiga si el tema, los principios y las conclusiones del análisis moderno se perciben con mayor claridad o se deducen con mayor claridad que los sacramentos religiosos y los artículos de fe ". El analista contenía una crítica ingeniosa y justa en muchos aspectos del cálculo infinitesimal. Berkeley consideró que el método de análisis era inconsistente con la lógica y escribió que “ por muy útil que sea, solo puede ser considerado como una especie de conjetura; destreza, arte, o más bien subterfugio, pero no como método de prueba científica .” Citando la frase de Newton sobre el incremento de las cantidades actuales "al comienzo mismo de su nacimiento o desaparición", Berkeley irónicamente: " estas no son cantidades ni finitas, ni infinitesimales, ni siquiera nada". ¿No podríamos llamarlos fantasmas de magnitudes muertas?... ¿Y cómo puede hablarse de una relación entre cosas que no tienen magnitud?... El que puede digerir el segundo o tercer flujo [derivado], la segunda o tercera diferencia, no debe , como me parece, encontrar fallas en cualquier cosa en teología .

Es imposible, escribe Berkeley, imaginar la velocidad instantánea, es decir, la velocidad en un instante dado y en un punto dado, porque el concepto de movimiento incluye conceptos de espacio y tiempo (finito distinto de cero).

¿Cómo obtiene el análisis los resultados correctos? Berkeley llegó a la conclusión de que esto se debe a la presencia de varios errores en las conclusiones analíticas de la compensación mutua, y lo ilustró con el ejemplo de una parábola. Irónicamente, algunos matemáticos importantes (como Lagrange ) estuvieron de acuerdo con él.

Había una situación paradójica cuando el rigor y la fecundidad en las matemáticas se interferían entre sí. A pesar del uso de acciones ilegales con conceptos mal definidos, la cantidad de errores directos fue sorprendentemente pequeña: la intuición ayudó. Y, sin embargo, a lo largo del siglo XVIII, el análisis matemático se desarrolló rápidamente, esencialmente sin justificación. Su efectividad fue asombrosa y habló por sí misma, pero el significado del diferencial aún no estaba claro. El incremento infinitesimal de una función y su parte lineal se confundían especialmente a menudo.

A lo largo del siglo XVIII, se hicieron tremendos esfuerzos para corregir la situación, y en ellos participaron los mejores matemáticos del siglo, pero solo Cauchy pudo construir de manera convincente las bases del análisis a principios del siglo XIX. Definió estrictamente los conceptos básicos: límite, convergencia, continuidad, diferencial, etc., después de lo cual los infinitesimales reales desaparecieron de la ciencia. Algunas sutilezas restantes fueron explicadas más tarde por Weierstrass . En la actualidad, el término "infinitamente pequeño" en matemáticas en la gran mayoría de los casos no está relacionado con números, sino con funciones y secuencias .

Como una ironía del destino, se puede considerar la aparición a mediados del siglo XX del análisis no estándar , que demostró que el punto de vista original, los infinitesimales reales, también es consistente y podría ser la base del análisis. Con el advenimiento del análisis no estándar, quedó claro por qué los matemáticos del siglo XVIII, al realizar acciones que eran ilegales desde el punto de vista de la teoría clásica, sin embargo obtuvieron resultados correctos.

Véase también

Notas

↑ Cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes // Manual de matemáticas (para la escuela secundaria) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3ª ed. — M.: Nauka, cap. edición de Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 337-340. — 480 s.

Literatura

Cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.