La desigualdad de Besicovitch
La desigualdad de Besicovitch en geometría diferencial es una relación que da una estimación menor del área de una superficie con un límite que puede ser parametrizado por un cuadrado . Nombrado por Abram Besikovich .
![[0,1]\veces [0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f35a051af39d8299688d7c4a63e39ee5f95c8b)
Redacción
Para una métrica de Riemann en un cubo -dimensional , se cumple la siguiente desigualdad:
,
![[0,1]^n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40160923273b7109968df994dca832b91d957bf2)
![{\displaystyle \mahop {\rm {vol}} ([0,1]^{n},g)\geq \prod _{i=1}^{n}a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59717d706fcbc7479f403107df5ee5fa9ff8462)
donde denota la distancia entre el -ésimo par de caras opuestas.
Consecuencias
- Sea una métrica sin puntos conjugados en , que coincida con la métrica euclidiana fuera del conjunto compacto . Entonces es isométrico al espacio euclidiano .
Variaciones y generalizaciones
- La desigualdad de Besicovitch con una constante se mantiene para métricas arbitrarias en un cuadrado; en lugar de volumen, se puede tomar la medida de Hausdorff de la misma dimensión.
- Las métricas de Finsler tienen una estimación similar con una constante que depende de la dimensión y el tipo de volumen.
Literatura
- Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curso de geometría métrica. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
- Serguéi Ivanov . Algunas desigualdades geométricas y teoremas de rigidez . Lectorio ( 09.07.12 ). Consultado el 4 de junio de 2020. Archivado desde el original el 4 de junio de 2020.