Tensor métrico

El tensor métrico , o métrica , es un campo tensorial simétrico de rango (0,2) sobre una variedad suave, mediante el cual se especifica el producto escalar de vectores en el espacio tangente . En otras palabras, el tensor métrico define una forma bilineal en el espacio tangente a este punto, que tiene las propiedades de un producto interior y depende suavemente del punto.

El tensor métrico te permite definir las longitudes de las curvas, los ángulos entre curvas, el volumen y otros conceptos inherentes al espacio euclidiano. En el caso especial de una métrica de superficie , también se le llama la primera forma cuadrática .

En la teoría general de la relatividad , la métrica es considerada como un campo físico fundamental (gravitatorio) sobre una variedad tetradimensional del espacio-tiempo físico. Es ampliamente utilizado en otras construcciones de la física teórica, en particular, en las teorías bimétricas de la gravedad sobre el espacio-tiempo, se consideran dos métricas a la vez.

Además, en las fórmulas de este artículo con índices repetidos, la suma por la regla de Einstein está implícita en todas partes , es decir, sobre cada índice repetido.

Métodos de búsqueda

Representación de coordenadas

El tensor métrico en coordenadas locales generalmente se especifica como un campo de tensor covariante . A través de él se determinan productos escalares de campos vectoriales coordinados : $x^{1},x^{2},\puntos,x^{n}$ $g_{ij}\$ $\parcial _{i}={\frac {\parcial}{\parcial x^{i))}$

\left\langle \parcial _{i},\parcial _{j}\right\rangle =g_{{ij}}.

Y para cualquier campo vectorial, el producto escalar se calcula mediante la fórmula

\left\langle v,w\right\rangle =g_{{ij}}v^{i}w^{j}

donde es la representación de campos vectoriales en coordenadas locales. $v=v^{i}\parcial _{i}\ ,w=w^{i}\parcial _{i}$

Notas

A veces, el tensor métrico se especifica de forma dual, utilizando el tensor contravariante . $g^{ij}$

En el caso de métricas no degeneradas

g^{{ij}}g_{{jk}}=\delta _{k}^{i},

¿ Dónde está el símbolo de Kronecker ? En este caso, ambos métodos son equivalentes y ambas representaciones de la métrica son útiles. $\delta _{k}^{i}$

Para métricas degeneradas, a veces es más conveniente usar solo la métrica contravariante. Por ejemplo, una métrica subriemanniana se puede definir en términos del tensor , pero el tensor no está definido para ella. $g^{ij}$ $g_{ij}$

Representación en el ámbito de los benchmarks

A veces es conveniente especificar el tensor métrico a través del campo de marcos seleccionado (no necesariamente de coordenadas, como se describió anteriormente) , es decir, eligiendo el campo de referencia y la matriz . ${\ estilo de visualización \ {e_ {i} (p) \}}$ $g_{{ik}}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle$

Por ejemplo, el tensor métrico de Riemann puede estar dado por un campo de marco ortonormal [1] .

Métrica inducida

La métrica, que es inducida por una incrustación suave de una variedad en el espacio euclidiano , se puede calcular mediante la fórmula: $r$ $METRO$ $mi$

g=J_{r}^{T}J_{r},

donde denota la matriz de Jacobi de la incrustación y se transpone a ella. En otras palabras, los productos escalares de los vectores de coordenadas base del espacio tangente , que en este caso se pueden identificar con , se definen como $J_{r}$ $r$ $J_{r}^{T}$ ${\frac {\parcial }{\parcial x_{i))}$ ${\frac {\parcial r}{\parcial x_{i))}$

g_{{ij))=g\left({\frac \parcial {\parcial x_{i))},{\frac \parcial {\parcial x_{j))}\right)=\left\langle {\ frac {\parcial r}{\parcial x_{i))},{\frac {\parcial r}{\parcial x_{j))}\right\rangle ,

donde denota el producto escalar en . $\ángulo *,*\rángulo$ $mi$

Más en general

Sea una variedad con una métrica y una incrustación suave. Entonces la métrica en , definida por la igualdad $(Nueva Hampshire)$ $r:M\a N$ $gramo$ $METRO$

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))

se llama la métrica inducida . Aquí denota el diferencial de visualización . $dr.$ $r$

Tipos de tensores métricos

El conjunto de tensores métricos se divide en dos clases: $gramo$

métricas no degeneradas o pseudo-riemannianas cuando se encuentran en todos los puntos de la variedad. Entre los tensores métricos no degenerados, a su vez, se encuentran: $\ \det(g_{{ij}})\neq 0$
- Tensor métrico de Riemann (o métrico de Riemann ) para el cual la forma cuadrática es definida positiva. Una variedad con un tensor métrico riemanniano distinguido se llama variedad riemanniana , tienen la estructura natural de un espacio métrico .
- En realidad tensor métrico pseudo-riemanniano (o métrico indefinido ) cuando la forma no está en signo definido. Una variedad con un tensor métrico pseudo-riemanniano distinguido se llama (correctamente) pseudo-riemanniana .
  - La métrica de Lorentz pertenece a esta clase .
Métricas degeneradas nunca en algunos puntos. $\ \det(g_{{ij}})=0$ $\ \det(g^{{ij}})=0$
- Se dice que una variedad cuya métrica es degenerada en cualquier punto es isotrópica (como un cono de luz en el espacio de Minkowski ). $M^{n}$
- Métricas sub-riemannianas .

El tensor métrico generalmente se entiende en matemáticas sin una indicación especial en cuanto al tensor métrico de Riemann; pero si, considerando un tensor métrico no degenerado, quieren enfatizar que estamos hablando de un tensor métrico riemanniano, y no de un pseudo-riemanniano, entonces hablan de él como un tensor métrico riemanniano propio . En física, el tensor métrico se suele entender como la métrica del espacio-tiempo de Lorentz.

A veces se entiende por tensor pseudo-Riemanniano y variedad pseudo-Riemanniana lo definido anteriormente como métrica y variedad pseudo-Riemanniana propia, mientras que para el primero sólo se utiliza el término "métrica no degenerada" y, en consecuencia, "variedad con no degeneración". -métrica degenerada" se mantiene.

Definiciones relacionadas

Un vector de longitud cero en un espacio con una métrica pseudo-riemanniana se denomina isotrópico (también cero o similar a la luz) y especifica una determinada dirección isotrópica en la variedad; por ejemplo, la luz en el continuo espacio-tiempo viaja a lo largo de direcciones isotrópicas.
Una variedad con un tensor métrico riemanniano distinguido se llama variedad riemanniana .
Una variedad con un tensor métrico pseudo-Riemanniano distinguido se llama variedad pseudo-Riemanniana .
Se dice que las métricas de una variedad son geodésicamente equivalentes si sus geodésicas (consideradas como curvas no parametrizadas) son las mismas.

Propiedades

El tensor métrico de Riemann se puede introducir en cualquier variedad suave paracompacta .
El tensor métrico de Riemann induce sobre la variedad la estructura natural del espacio métrico
Una métrica indefinida no genera un espacio métrico. Sin embargo, sobre su base, al menos en algunos casos, se puede construir una topología de una manera especial (ver la topología de Aleksandrov ), que, en términos generales, no coincide con la topología natural de la variedad.

Métrica y volumen

El determinante de la matriz tensorial métrica da el cuadrado del volumen del paralelepípedo generado por los vectores base. (En bases ortonormales, esto es la unidad). $|\det\{g_{{ij}}\}|$

Por lo tanto, la cantidad juega un papel importante en el cálculo de volúmenes, así como en la integración sobre volumen. En particular, se incluye en la expresión general del tensor de Levi-Civita , que se utiliza para calcular el producto mixto , el producto cruzado y sus contrapartes de dimensiones superiores. ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$ ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$

La integración sobre volumen incluye este factor, por ejemplo, si es necesario integrar algún escalar en coordenadas (para que el resultado sea invariante):

S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}\,dx^{1}\,dx ^{2}\,\ldots\,dx^{n},

donde es un elemento de volumen -dimensional, y son diferenciales de coordenadas . $d\Omega$ $norte$ $dx^{i}$

Para subvariedades, el volumen (área) se define como el volumen (área) con respecto a la métrica inducida.

Ejemplos

Tensor métrico en el plano euclidiano:
- En coordenadas cartesianas de escala unitaria rectangular , el tensor métrico es constante (no depende de coordenadas) y está representado por la matriz identidad (sus componentes son iguales al símbolo de Kronecker ) $g={\begin{bmatriz}1&0\\0&1\end{bmatriz}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- En coordenadas cartesianas rectangulares de escala no unitaria, el tensor métrico está representado por una matriz diagonal constante (independiente de coordenadas) cuyas componentes distintas de cero están determinadas por la escala a lo largo de cada eje (generalmente no son iguales).
- En coordenadas cartesianas oblicuas, el tensor métrico es constante (no depende de las coordenadas) y definido positivo, pero por lo demás, en términos generales, se representa por una matriz simétrica arbitraria.
- En coordenadas polares : $(r,\theta)$ $g={\begin{bmatriz}1&0\\0&r^{2}\end{bmatriz}}\$
Tensor métrico en la esfera. Una esfera (bidimensional) de radio incrustada en un espacio tridimensional tiene una métrica natural inducida por la métrica euclidiana del espacio ambiental. En coordenadas esféricas estándar, la métrica toma la forma: $R$ $(\theta,\varphi)$ $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Tensor métrico para el espacio euclidiano tridimensional:
- En coordenadas cartesianas de escala unitaria rectangular , el tensor métrico es constante (no depende de coordenadas) y está representado por la matriz identidad (sus componentes son iguales al símbolo de Kronecker ) $g={\begin{bmatriz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatriz}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- En coordenadas cartesianas rectangulares de escala no unitaria, el tensor métrico está representado por una matriz diagonal constante (independiente de coordenadas) cuyas componentes distintas de cero están determinadas por la escala a lo largo de cada eje (generalmente no son iguales).
- En coordenadas cartesianas oblicuas, el tensor métrico es constante (no depende de las coordenadas) y definido positivo, pero por lo demás, en términos generales, se representa por una matriz simétrica arbitraria.
- En coordenadas esféricas : : $(r,\theta ,\phi )$ $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Métrica de Lorentz ( métrica de Minkowski ).
Métrica de Schwarzschild

Isomorfismo entre espacios tangentes y cotangentes

El tensor métrico establece un isomorfismo entre el espacio tangente y el espacio cotangente : sea un vector del espacio tangente, entonces para el tensor métrico sobre , obtenemos que , es decir, la aplicación que lleva otro vector a un número , es un elemento del espacio dual de funcionales lineales (1-formas) . La no degeneración del tensor métrico (si está o dónde está) hace que este mapeo sea una biyección , y el hecho de que sea en sí mismo un tensor hace que este mapeo sea independiente de las coordenadas. $v\en T_{p}M$ $gramo$ $METRO$ $g(v,\cdot )$ $w\en T_{p}M$ $g(v,w)$ $T_{p}^{*}M$ $gramo$

Para los campos tensoriales, esto le permite "aumentar y reducir los índices" de cualquier campo tensorial (el nombre en jerga es "malabarismo de índices"). En componentes, la operación de subir-bajar el índice queda así:

\ g_{{ij}}v^{j}=v_{i}

— bajar el índice del vector,

\g^{{ij}}v_{j}=v^{i}

- elevando el índice para el vector,

\ g^{{ij}}g_{{mn}}T_{{j\ \ \ pq}}^({\ nrs}}=T_({\ m\ \ pq}}^{{i\ \ rs} }

es un ejemplo de aumento y disminución del índice simultáneos para un tensor de valencia grande.

j

norte

(Esta operación, por supuesto, no se aplica a los escalares).

Para objetos similares a tensores (que no son tensores), como los símbolos de Christoffel , la transformación de componentes contravariantes en covariantes y viceversa se define, por regla general, de la misma manera que para los tensores. Si se desea, el malabarismo también se puede aplicar a las matrices de Jacobi , solo que en este caso es necesario asegurarse de que la métrica para subir y bajar el primer índice, por supuesto, en términos generales, diferirá de la métrica para la misma operación con el segundo. una.

Véase también

Notas

↑
Véase, por ejemplo,
- Cartan E. Zh. Geometría riemanniana en un marco ortogonal. - M .: editorial de la Universidad Estatal de Moscú, [1926-1927] 1960
- Kartan E. Zh. La teoría de los grupos continuos finitos y la geometría diferencial establecida por el método del marco móvil. - M .: editorial de la Universidad Estatal de Moscú, [1930] 1963