Desigualdad de Pido

La desigualdad de Pidot (también la desigualdad de Pidot-Neuberg ) es una desigualdad en geometría que lleva el nombre de Daniel Pidot (1910-1998) y Joseph Neuberg (1840-1926). La desigualdad establece que si , , y , , son las longitudes de los lados de los triángulos y , a y son sus áreas, entonces $a$ $b$ $C$ $a'$ $b'$ $C'$ $A B C$ ${\ estilo de visualización A'B'C'}$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

y la igualdad se logra si y sólo si estos triángulos son semejantes con pares de lados correspondientes , y . ${\ estilo de visualización (a, a')}$ ${\ estilo de visualización (b, b')}$ ${\ estilo de visualización (c, c')}$

La expresión de la izquierda no solo es simétrica para las permutaciones de los pares , y , sino que también (lo que quizás no sea tan obvio) permanece sin cambios si se intercambian y , y . En otras palabras, la expresión de la izquierda es una función simétrica de un par de triángulos. ${\ estilo de visualización (a, a')}$ ${\ estilo de visualización (b, b')}$ ${\ estilo de visualización (c, c')}$ $a$ $a'$ $b$ $b'$ $C$ $C'$

Un caso especial de la desigualdad de Pido, en la que uno de los triángulos es equilátero , es la desigualdad de Weizenbock .

Pido descubrió esta desigualdad en 1941 y la publicó en varios artículos. Más tarde supo que la desigualdad ya la conocía Neuberg en el siglo XIX, quien, sin embargo, no probó que la igualdad implica la semejanza de dos triángulos.

Literatura

Daniel Pedoe: una desigualdad que conecta dos triángulos . La Gaceta Matemática, vol. 25, núm. 267 (diciembre de 1941), págs. 310-311 ( JSTOR Archivado el 18 de agosto de 2016 en Wayback Machine )
Daniel Pedoe: una desigualdad de dos triángulos . The American Mathematical Monthly , volumen 70, número 9, página 1012, noviembre de 1963.
Daniel Pedoe: una desigualdad para dos triángulos . Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, volumen 38, parte 4, página 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Cuando menos es más: visualización de desigualdades básicas . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, pág. 108 Archivado el 18 de agosto de 2016 en Wayback Machine .
DS Mitrinović, Josip Pečarić: Sobre las desigualdades de Neuberg-Pedoe y Oppenheim . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129 (1): 196-210 enero de 1988 ( copia en línea Archivado el 7 de agosto de 2016 en Wayback Machine )