Descomposición codiciosa extraña

La expansión codiciosa impar es un método para construir fracciones egipcias en las que todos los denominadores son impares.

Si un número racional es la suma de fracciones alícuotas impares : $x/y$

{\frac {x}{y}}=\sum {\frac {1}{2a_{i}+1}}

entonces el número debe ser impar. Por el contrario, se sabe que en el caso de un número impar, cualquier fracción de la forma tiene una expansión con denominadores impares, en la que todos los denominadores de las fracciones son diferentes. Por ejemplo, tal descomposición se puede encontrar reemplazando con , donde es un número de la forma suficientemente grande y luego representándolo como una suma de divisores [1] . $y$ $y$ $x/y$ $x/y$ $Hacha/Ay$ $A$ ${\displaystyle 35\times 3^{i))$ $i$ $Hacha$ $Ay$

Sin embargo, existe un algoritmo codicioso más simple que encuentra con éxito fracciones egipcias con denominadores impares para todos los números (con impar ) en los que se prueba: sea el número impar más pequeño no menor que , la fracción se incluye en la expansión y el proceso continúa. para la fracción residual . Este método se denomina algoritmo codicioso impar y la descomposición resultante se denomina descomposición codiciosa impar. $x/y$ $y$ $tu$ ${\ estilo de visualización y/x}$ ${\ estilo de visualización 1/u}$ ${\ estilo de visualización x/y-1/u}$

La pregunta de si el proceso de expansión terminará en un número finito de pasos para cualquier número impar [2] permaneció abierta a partir de 2006 . $x/y$ $y$

Aplicar el algoritmo a una fracción con un denominador par da una expansión infinita. Por ejemplo, la secuencia de Sylvester se puede ver como el resultado de un algoritmo de fracción codiciosa impar . $1/2$

Ejemplo

Sea x / y = 4/23.

23/4 = 5 ¾, el siguiente número impar más grande es 7. Así, en el primer paso obtenemos la expansión:

4/23 = 1/7 + 5/161.

161/5 = 32 1/5, el siguiente número impar más grande es 33. Así, en el siguiente paso, obtenemos la expansión:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 4/5313.

5313/4 = 1328 1/4, el siguiente número impar más grande es 1329. Así, en el tercer paso obtenemos la expansión:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 1/1329 + 1/2353659.

Como en el tercer paso del numerador se obtiene la unidad de la fracción residual, el proceso se detiene y, como resultado, se obtiene una expansión finita.

Fracciones con ampliaciones largas

El algoritmo codicioso impar puede generar descomposiciones que son más cortas que la descomposición codiciosa habitual y con denominadores más pequeños [3] . Por ejemplo,

{\frac {8}{77}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{257}}+{\frac {1}{197890}}={\frac {1}{11}}+{\frac {1}{77}},

donde la descomposición de la izquierda se obtiene mediante un algoritmo codicioso, y la descomposición de la derecha se obtiene mediante un algoritmo codicioso impar. Sin embargo, como regla, el resultado de la descomposición por un algoritmo codicioso impar es más largo y tiene denominadores grandes. Por ejemplo [4] , la extraña expansión codiciosa de 3/179 da 19 términos, el mayor de los cuales es aproximadamente igual a 1.415×10 439491 . Curiosamente, los numeradores de las fracciones de expansión forman una secuencia de números enteros:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1.

Casos similares ocurren con otros números como 5/5809 (ejemplo encontrado de forma independiente por KS Brown y David Bailey ) en cuyo caso la expansión tiene 31 términos. Aunque los denominadores de esta expansión son difíciles de calcular debido a su gran tamaño, la secuencia de numeradores se puede encontrar de manera relativamente eficiente usando aritmética modular . En 1999 [5] , se describen algunos ejemplos adicionales de este tipo y se dan métodos para encontrar fracciones que dan expansiones arbitrariamente largas.

Literatura

R. Breusch. Un caso especial de fracciones egipcias, solución al problema avanzado 4512 // American Mathematical Monthly . - 1954. - T. 61 . - S. 200-201 .
Richard K Guy. Problemas no resueltos en teoría de números. - 1981. - S. 88. - ISBN 0-387-90593-6 .
Richard K Guy. ¿No hay nada nuevo en teoría de números? // Revista Matemática Estadounidense . - 1998. - T. 105 , núm. 10 _ - S. 951-954 . -doi : 10.2307/ 2589289 . — .
Víctor Klee, Stan Wagon. Problemas no Resueltos de Geometría Elemental y Teoría de Números. — 1991.
Richard Nowakowski. Problemas sin resolver, 1969-1999 // American Mathematical Monthly . - 1999. - T. 106 , nº. 10 _ - S. 959-962 . -doi : 10.2307/ 2589753 . — .
BM Stewart. Sumas de divisores distintos // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 , núm. 4 . - S. 779-785 . -doi : 10.2307/ 2372651 . — .
Stan Vagón. Mathematica en acción . - W. H. Freeman, 1991. - S. 275 -277. — ISBN 0-7167-2202-X .
MathPages - Expansiones de fracciones unitarias codiciosas impares , KS Brown