Parte de la unidad

Una fracción de uno (una alícuota) es un número racional en forma de fracción cuyo numerador es uno y el denominador es un número entero positivo . La fracción unitaria es así el recíproco de un número entero positivo, 1/ n . Los ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, etc.

Aritmética elemental

Multiplicar dos fracciones de uno da una fracción de uno:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Sin embargo, sumar , restar o dividir dos fracciones de una unidad generalmente da un resultado diferente a las fracciones de una unidad:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Aritmética modular

Las fracciones de uno juegan un papel importante en la comparación del módulo , ya que pueden usarse para reducir la división del módulo al cálculo del máximo común divisor. En particular, supongamos que deseamos calcular el resultado de la división por x módulo y . Para que la división por x se defina módulo y , x e y deben ser coprimos . Entonces, usando el algoritmo de Euclides extendido para encontrar el máximo común divisor , podemos encontrar a y b tales que

\displaystyle hacha+por=1,

de donde se sigue

\displaystyle hacha\equiv 1{\pmod {y)),

que es equivalente a

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

Así, para dividir por x (módulo y ), simplemente hay que multiplicar por a .

La suma final de las fracciones de una unidad

Cualquier número racional positivo se puede representar como una suma de fracciones de uno de varias maneras. Por ejemplo,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

Los antiguos egipcios usaban sumas de diferentes fracciones de uno para escribir números racionales , y tales sumas a menudo se llaman fracciones egipcias . Hasta ahora, existe interés en el análisis de los métodos utilizados por los antiguos para seleccionar posibles representaciones y calcular dichas representaciones [1] . El tema de las fracciones egipcias también es de interés para la teoría de números moderna . Por ejemplo, la conjetura de Erdős-Graham y la conjetura de Erdős-Strauss se refieren a sumas de fracciones de unidades, al igual que la definición de números armónicos de Ore .

En la teoría de grupos geométricos, los grupos de triángulos se clasifican en euclidianos, esféricos e hiperbólicos, dependiendo de si la suma de las fracciones unitarias asociadas a ellos es igual a uno, menor que uno o mayor que uno.

Secuencias de fracciones de uno

Muchas series infinitas conocidas tienen términos en forma de fracciones de uno. Entre ellos:

La serie armónica es la suma de todas las fracciones positivas de uno. Esta suma diverge, y sus sumas parciales

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

se aproximan mucho por ln n + γ a medida que n aumenta .

El problema de Basilea considera la suma de cuadrados de fracciones de uno, que converge a π 2/6 .
La constante de Aperi es la suma de cubos de fracciones de uno.
Las progresiones geométricas y la serie inversa de Fibonacci son ejemplos adicionales de fracciones de una serie.

Matrices fraccionarias

La matriz de Hilbert tiene números como elementos.

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Tiene una propiedad inusual: todos los elementos de su matriz inversa son enteros [2] . De manera similar, Richardson [3] definió una matriz con elementos

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

donde F i denota el i -ésimo número de Fibonacci . Llamó a esta matriz "la matriz Filbert" y tiene la misma propiedad [4] .

Fracciones adyacentes

Dos fracciones se llaman adyacentes si su diferencia es una fracción de uno [5] [6] .

Fracciones de unidad en teoría de probabilidad y estadística

En una distribución uniforme discreta, todas las probabilidades son una fracción de uno. De acuerdo con el principio de indiferencia , las probabilidades de este tipo surgen a menudo en los cálculos estadísticos [7] . Además, la ley de Zipf establece que para muchos eventos observables, incluida la selección de objetos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que se seleccione el n-ésimo objeto es proporcional a una fracción de uno 1/ n [8] .

Fracciones de unidad en física

Los niveles de energía de los fotones que pueden ser absorbidos o emitidos por un átomo de hidrógeno, según la fórmula de Rydberg , son proporcionales a la diferencia entre dos fracciones de uno. El modelo de Bohr da una explicación para este fenómeno , según el cual los niveles de energía de los orbitales de electrones en un átomo de hidrógeno son inversamente proporcionales al cuadrado de las fracciones de la unidad, y la energía del fotón se cuantifica por la diferencia de nivel [9] .

Arthur Eddington afirmó que la constante de estructura fina es una fracción de uno, primero 1/136 y luego 1/137. Esta afirmación resultó ser incorrecta, y la estimación moderna del valor de la constante de estructura fina es (hasta 6 decimales) 1/137,036 [10] .

Véase también

fracciones egipcias

Notas

↑ Guy, 2004 , pág. 252-262.
↑ Choi, 1983 , pág. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , pág. 268-275.
↑ Fracción adyacente en el sitio web de PlanetMath .
↑ Weisstein, Eric W. Fracción adyacente en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Galés, 1996 , p. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , pág. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Literatura

Richard K Guy. Problemas no resueltos de teoría de números. — 3er. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Hombre Duen Choi. Trucos o tratos con la matriz de Hilbert // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , núm. 5 . -doi : 10.2307/ 2975779 .
Thomas M.Richardson. La matriz Filbert // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , núm. 3 . - . -arXiv : matemáticas.RA / 9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Física atómica y nuclear moderna. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. La búsqueda de Eddington de una teoría fundamental: una clave para el universo. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Galés. Aspectos de la inferencia estadística. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Serie Wiley en Probabilidad y Estadística). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Teoría de la Ley de Zipf y más allá. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .