Forma normal de ecuaciones diferenciales

La forma normal de las ecuaciones diferenciales es la forma equivalente más simple de las ecuaciones originales. La forma normal se obtiene con la ayuda de sustituciones especiales de variables dependientes e independientes del problema para simplificar la estructura de las ecuaciones tanto como sea posible. En matemáticas, estos cambios de variables están relacionados con las transformaciones infinitesimales de los grupos de Lie . En física, las cuestiones relacionadas con la forma normal se reflejaron en el teorema de Emmy Noether .

Por primera vez, la idea de construir una forma normal de ecuaciones fue formulada por el destacado científico francés Henri Poincaré en su trabajo sobre nuevos métodos de mecánica celeste. La idea principal expresada por Poincaré no es intentar con todas tus fuerzas resolver las ecuaciones originales, sino encontrar tal cambio de variables que lleve las ecuaciones a la forma más simple, si es posible, a una lineal. Usando el cambio inverso de variables, puede restaurar la solución original. La pregunta clave, si siempre existe tal cambio de variables uno a uno que da como resultado ecuaciones lineales, se responde negativamente en el caso general. Resultó que si el sistema tiene una resonancia en un punto singular , entonces no se requiere reemplazo en la vecindad de este punto. Las ecuaciones obtenidas como resultado de las transformaciones de normalización recibieron el nombre abreviado de "forma normal".

Ejemplos de formas normales

1. La forma normal de un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales en la vecindad de un punto "no singular" (donde el campo vectorial especificado por este sistema en el espacio de fase es distinto de cero): $(x_{1},\ldots,x_{n})$

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}} =0,$

2. Forma normal de ecuaciones degeneradas de "inestabilidad explosiva"

${\frac{dx}{dt}}=x^{2}$

es la forma original. Las ecuaciones no se reducen a lineal debido al valor propio cero. Si el valor propio es cero, entonces siempre hay resonancia.

3. Forma normal de las ecuaciones del oscilador lineal

${\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

está representado por un par de ecuaciones lineales para variables conjugadas complejas

${\frac {dz}{dt}}+iz=0$

${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$

donde es la coordenada normal. $z=x+i{\frac {dx}{dt))$

4. Forma normal de la ecuación logística con no linealidad cuadrática

${\frac{dx}{dt}}=-x+cx^{2}$

tiene la siguiente forma lineal

${\frac {dy}{dt}}=-y.$

Que existe una coordenada normal se puede verificar por sustitución directa $y$

$x=y+{\frac {y}{1+cy)),$

que se obtiene como resultado de aplicar el procedimiento asintótico para construir una transformación normalizadora.

5. Forma normal de ecuaciones para un oscilador no lineal amortiguado

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$

hay un par de ecuaciones conjugadas complejas lineales

${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$

${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$

donde es la coordenada normal deseada. La función es una serie de potencias arbitraria con respecto al argumento , a partir de los términos cuadráticos de la expansión. $z$ $F$ $X$

6. Forma normal de ecuaciones de movimiento no lineales en la vecindad de la "silla de montar"

${\frac{dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$

${\frac{dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$

donde y son series de potencias arbitrarias que comienzan con términos cuadráticos en variables y , hay un par de ecuaciones no lineales ${\ Displaystyle h_ {1}}$ ${\ Displaystyle h_ {2}}$ $x_1$ $x_{2}$

${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$

${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$

donde y son series de potencias arbitrarias con respecto a un único argumento . En este caso, el sistema no puede reducirse a una forma normal lineal debido a la presencia de resonancia . $F$ $gramo$ ${\ Displaystyle y_{1}y_{2))$

7. La forma normal de una ecuación que no se resuelve con respecto a la derivada en la vecindad del punto singular más simple (es decir, el punto cerca del cual la ecuación no se puede resolver de manera única con respecto a la derivada) - el llamado Cibrario forma normal

${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr)}^{2}=x,$

Literatura

Arnold V. I. Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, - Cualquier edición.
Arnold V. I. Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, - Cualquier edición.
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Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teoría de las bifurcaciones, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. dirección, 1986, volumen 5.
Bruno A. D. Método local de análisis no lineal de ecuaciones diferenciales, Nauka, Moscú, 1979.
Bruno A. D. Geometría de potencia en ecuaciones algebraicas y diferenciales, Fizmatlit, Moscú, 1998.
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