Integral de energía generalizada

La integral de energía generalizada es la integral de las ecuaciones de Lagrange de un sistema mecánico holonómico en el caso de una función de Lagrange independiente del tiempo . También llamada integral de Jacobi. Siempre existe si las fuerzas son potenciales y la función de Lagrange no depende explícitamente del tiempo [1] .

Redacción

Ecuaciones de Lagrange para un sistema mecánico holonómico con una función de Lagrange independiente del tiempo

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\parcial L }{\parcial q_{{m))))=0$

tienen una integral de energía generalizada [2] :

$h=\sum _{{m=1}}^{{s}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{{m}}}}{\dot {q} }_{{m}}-L$

Conclusión

Considere un sistema holonómico con grados de libertad con la función de Lagrange $s$

$L=L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$ ,

dependiendo de coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y tiempo , aquí y abajo en todas partes . ${\ Displaystyle q_ {m}}$ ${\dot {q}}_{m}$ $t$ $m=1,2,...,s$

Derivando la función con respecto al tiempo , obtenemos $L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\parcial L}{\parcial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\ L parcial} {\ t parcial}}$ .

De las ecuaciones de Lagrange

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\parcial L }{\parcial q_{{m))))=0$

sigue que

${\frac {\parcial L}{\parcial q_{m))}={\frac {d}{dt))\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q }}_{m}}}\derecho)$ .

Entonces obtenemos:

${\frac {\parcial L}{\parcial q_{m))}{\dot {q))_{m}+{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q)) _{m))}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_ {m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q} }_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}} _ {m}\derecho)$ .

Usando esto, tenemos:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\parcial L}{\parcial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\parcial L}{\parcial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q }}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\parcial L}{\parcial t}}$

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m} )){\dot {q))_{m}-L\right)+{\frac {\parcial L}{\parcial t))=0$ .

Si la función de Lagrange es explícitamente independiente del tiempo, entonces ${\frac {\parcial L}{\parcial t))=0$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m} }}{\punto {q}}_{m}-L\derecha)=0$

Por lo tanto:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m} -L=h$

Esta expresión se denomina integral de energía generalizada o integral de Jacobi [2] .

Notas

↑ Butenin, 1971 , p. 102.
↑ 1 2 Butenin, 1971 , p. 101.

Literatura

Butenin NV Introducción a la mecánica analítica. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.